Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
y=9 x^2-43 x-2

Passo 1

Estamos com a função racional definida por y=9x^2-43x-2, e o objetivo é achar seu domínio e sua imagem. Para isso, vamos usar teoria de domínio de funções racionais (denominador ≠0), fatoração de polinômios e análise de furos na reta.

Passo 2

Para determinar o domínio, identificamos onde o denominador se anula:
3x - 2 = 0 implies x = tfrac23

Passo 3

Logo, o domínio são todos os reais, exceto x=tfrac23:
Dom,f = Rsetminustfrac23

Passo 4

Agora vamos fatorar o numerador para ver se há cancelamento:
9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)

Passo 5

Assim a função simplifica (exceto em x=tfrac23, onde há furo) para
y = 3x + 2, x neq tfrac23

Passo 6

Uma reta y=3x+2 atinge todos os valores reais, mas o ponto correspondente a x=tfrac23 gera y=3cdottfrac23+2=4, que está excluído. Portanto a imagem é todos os reais, exceto 4:
Im,f = Rsetminus4

Resposta

Domínio: Rsetminustfrac23 ; Imagem: Rsetminus4.

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