Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
Passo 1
Estamos com a função racional definida por
, e o objetivo é achar seu domínio e sua imagem. Para isso, vamos usar teoria de domínio de funções racionais (denominador ≠0), fatoração de polinômios e análise de furos na reta.
Passo 2
Para determinar o domínio, identificamos onde o denominador se anula:
Passo 3
Logo, o domínio são todos os reais, exceto
:
Passo 4
Agora vamos fatorar o numerador para ver se há cancelamento:
Passo 5
Assim a função simplifica (exceto em
, onde há furo) para
Passo 6
Uma reta
atinge todos os valores reais, mas o ponto correspondente a
gera
, que está excluído. Portanto a imagem é todos os reais, exceto
:
Resposta
Domínio:
; Imagem:
.