Mostre que o comprimento total da elipse
é dado pela integral
onde
é a excentricidade da elipse com
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o comprimento da elipse parametrizada por
, com
e excentricidade
(onde
), é dado por
. O conteúdo usado será o comprimento de arco de curva paramétrica e a relação entre
.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, calculamos a derivada
:
Em seguida obtém-se a norma de :
Em seguida obtém-se a norma de
Passo 3
Usando
e
, temos
. Logo
=a2[1-e2\cos^2(\theta)],$
e portanto
$\displaystyle|\alpha
e portanto
$\displaystyle|\alpha