Mostre que o comprimento total da elipse
alpha(theta)=(a cos (theta), b sin (theta)), 0
é dado pela integral
a integral0^2 pi raiz1-e^2 cos ^2(theta) d theta
onde e=c / a é a excentricidade da elipse com c^2=a^2-b^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o comprimento da elipse parametrizada por alpha(theta)=(acos(theta),bsin(theta)), com 0 e excentricidade e=c/a (onde c^2=a^2-b^2), é dado por aintegral0^2piraiz1-e^2cos^2(theta),dtheta. O conteúdo usado será o comprimento de arco de curva paramétrica e a relação entre a,b,e.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, calculamos a derivada alpha'(theta):
alpha'(theta)=(-asin(theta),,bcos(theta))
Em seguida obtém-se a norma de alpha'(theta):
|alpha'(theta)|=raiza^2sin^2(theta)+b^2cos^2(theta)

Passo 3

Usando c^2=a^2-b^2 e e=c/a, temos b^2=a^2-e^2a^2=a^2(1-e^2). Logo
a^2sin^2(theta)+b^2cos^2(theta)=a^2[sin^2(theta)+(1-e^2)cos^2(theta)]=a2[1-e2\cos^2(\theta)],$
e portanto
$\displaystyle|\alpha

Resposta

aintegral0^2piraiz1-e^2cos^2(theta),dtheta

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