Sejam os vetores não nulos u, v, w in R^3 e escalares alpha, beta in R. Mostre que
lang<= u, alpha v+beta wrang<==alphalang<= u, vrang<=+betalang<= u, wrang<=

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto interno em R^3 é linear na segunda componente, ou seja, que para u,v,winR^3 e alpha,betainR vale lang<= u,alpha v+beta wrang<==alphalang<= u,vrang<=+betalang<= u,wrang<=. Vamos usar a definição de produto interno (ou dot product) em coordenadas.

Passo 2

Seja u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3). Então alpha v+beta w=(alpha v1+beta w1,alpha v2+beta w2,alpha v3+beta w3). Pela definição de produto interno temos
lang<= u,alpha v+beta wrang<==u1(alpha v1+beta w1)+u2(alpha v2+beta w2)+u3(alpha v3+beta w3)

Passo 3

Agora aplicamos a distributividade da multiplicação em R e reagrupamos os termos com alpha e com beta:
u1alpha v1+u1beta w1+u2alpha v2+u2beta w2+u3alpha v3+u3beta w3 =alpha(u1v1+u2v2+u3v3)+beta(u1w1+u2w2+u3w3)

Passo 4

Por definição de produto interno, u1v1+u2v2+u3v3=lang<= u,vrang<= e u1w1+u2w2+u3w3=lang<= u,wrang<=. Substituindo, obtemos exatamente a propriedade desejada.

Resposta

lang<= u,alpha v+beta wrang<==alphalang<= u,vrang<=+betalang<= u,wrang<=

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