Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede primeiro a integral indefinida de
e em seguida a integral imprópria de 0 a
. Vamos precisar usar a identidade trigonométrica
, a técnica de substituição
e o teste de convergência de p-integral para analisar o comportamento em
.
Passo 2
Para facilitar a substituição, escrevemos
e usamos a identidade
. Assim
Passo 3
Fazendo a troca de variável
, temos
. A integral vira
Passo 4
Agora aplicamos a regra do polinômio:
Passo 5
Substituindo de volta
, obtemos a primitiva
Passo 6
Para a integral imprópria
, examinamos o comportamento em
. Como
pequeno,
, cujo expoente
garante convergência do p-integral.
Passo 7
Finalmente, avaliamos