integral sin ^3(x)raizcos (x) d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^pi2 sin ^3(x)raizcos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede primeiro a integral indefinida de integral dfracsin^3(x)raizcos(x),dx e em seguida a integral imprópria de 0 a pi/2. Vamos precisar usar a identidade trigonométrica sin^2x=1-cos^2x, a técnica de substituição u=cos x e o teste de convergência de p-integral para analisar o comportamento em xtopi/2.

Passo 2

Para facilitar a substituição, escrevemos sin^3x=sin x,sin^2x e usamos a identidade sin^2x=1-cos^2x. Assim
integral sin^3xraizcos x,dx=integral sin x,(1-cos^2x)raizcos x,dx

Passo 3

Fazendo a troca de variável u=cos x, temos du=-sin x,dx. A integral vira
integral sin x,(1-u^2)u^1/2,dx=-integral (1-u^2),u^-1/2,du=-integrall(u^-1/2-u^3/2r),du

Passo 4

Agora aplicamos a regra do polinômio:
-integral u^-1/2,du +integral u^3/2,du = -l[2u^1/2r]+l[tfrac25u^5/2r]+C

Passo 5

Substituindo de volta u=cos x, obtemos a primitiva
F(x)=-2raizcos x+25cos^5/2x + C

Passo 6

Para a integral imprópria integral0^pi/2dfracsin^3xraizcos x,dx, examinamos o comportamento em xtopi/2^-. Como cos xsim t>0 pequeno, sin^3x/raizcos xsim 1/raizt, cujo expoente 1/2<1 garante convergência do p-integral.

Passo 7

Finalmente, avaliamos
integral0^pi/2sin^3xraizcos x,dx = Fl(tfracpi2r)-F(0) = 0 - l(-2+tfrac25r)=85

Resposta

tfrac85

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