Integral por Frações Parciais:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8 x . d x}{(2 x+1)\left(4 x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8x\,dx}{(2x+1)\left(4x^{2}+1\right)}.
Informações dadas:
\; o integrando é a função racional \dfrac{8x}{(2x+1)(4x^{2}+1)}.\n
\; os limites de integração são 0 e \tfrac{1}{2}.\n
A nossa missão: calcular essa integral usando frações parciais e técnicas básicas de integração (logaritmo e arctangente). Nada mais além disso é necessário.

Passo 2

Vamos decompor a função racional em frações parciais. Como o denominador tem um fator linear (2x+1) e um quadrático irrreducível (4x^{2}+1), a decomposição tem a forma
\frac{8x}{(2x+1)(4x^{2}+1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+C}{4x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui eu coloquei A sobre o fator linear e um polinômio de grau menor que 2 (ou seja, Bx+C) sobre o quadrático.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (2x+1)(4x^{2}+1) para eliminar denominadores:
8x = A(4x^{2}+1) + (Bx+C)(2x+1).
Agora vamos expandir o lado direito para comparar coeficientes.

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
A(4x^{2}+1)=4A x^{2}+A,
(Bx+C)(2x+1)=2B x^{2}+B x+2C x+C.
Somando:
A(4x^{2}+1)+(Bx+C)(2x+1)=(4A+2B)x^{2}+(B+2C)x+(A+C).

Passo 5

Comparando coeficientes com a identidade 8x = 0\cdot x^{2} + 8x + 0, obtemos o sistema linear
\begin{cases} 4A+2B=0,\\[4pt] B+2C=8,\\[4pt] A+C=0. \end{cases}
Agora resolvo esse sistema passo a passo.]

Passo 6

Da primeira equação 4A+2B=0 podemos simplificar dividindo por 2:
2A+B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-2A.
Da terceira equação A+C=0 obtemos
C=-A.
Substituindo B=-2A e C=-A na segunda equação B+2C=8:
-2A + 2(-A)=8 \quad\Rightarrow\quad -2A -2A =8 \quad\Rightarrow\quad -4A=8.
Logo
A=-2.
Com A=-2 temos B=-2A=4 e C=-A=2.

Passo 7

Portanto a decomposição é
\frac{8x}{(2x+1)(4x^{2}+1)}=\frac{-2}{2x+1}+\frac{4x+2}{4x^{2}+1}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8x\,dx}{(2x+1)(4x^{2}+1)} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{-2}{2x+1} + \frac{4x+2}{4x^{2}+1} \right) dx.
Vou integrar termo a termo; para isso preciso saber as primitivias de cada parcela.

Passo 8

Primitivas usadas (com explicação):
  1. \displaystyle \int \frac{-2}{2x+1}\,dx.
    Derivada de 2x+1 é 2, então \int \frac{1}{2x+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\ln|2x+1|. Multiplicando por -2 obtemos
\int \frac{-2}{2x+1}\,dx = -\ln|2x+1|.
  1. \displaystyle \int \frac{4x}{4x^{2}+1}\,dx.
    Faça u=4x^{2}+1, então du=8x\,dx, logo 4x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{4x}{4x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(4x^{2}+1).
  1. \displaystyle \int \frac{2}{4x^{2}+1}\,dx.
    Recorde a primitiva \int \frac{1}{a^{2}x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{a}\arctan(ax). Aqui a=2 porque 4x^{2}=(2x)^{2}. Então
\int \frac{1}{4x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\arctan(2x).
Multiplicando por 2
\int \frac{2}{4x^{2}+1}\,dx = \arctan(2x).

Passo 9

Somando as partes, uma primitiva F(x) da função original é
F(x) = -\ln(2x+1) + \frac{1}{2}\ln(4x^{2}+1) + \arctan(2x).
Agora avaliamos F nos limites 0 e \tfrac{1}{2}.
Calcule F\!\left(\tfrac{1}{2}\right):
2x+1 \big|_{x=\frac{1}{2}} = 2\cdot\frac{1}{2}+1 = 2,\qquad 4x^{2}+1 \big|_{x=\frac{1}{2}} = 4\cdot\frac{1}{4}+1 = 2,
\arctan(2x)\big|_{x=\frac{1}{2}} = \arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Logo
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) + \frac{1}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{4}.
Calcule F(0):
2x+1\big|_{x=0}=1,\quad 4x^{2}+1\big|_{x=0}=1,\quad \arctan(0)=0,
portanto
F(0)= -\ln(1) + \frac{1}{2}\ln(1) + 0 = 0.

Passo 10

Subtraindo F(0) de F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) obtemos o valor da integral:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{8x\,dx}{(2x+1)(4x^{2}+1)} = F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(0) = -\frac{1}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{4}.
Ufa! Está feito — ficou uma combinação bonita de logaritmo e arctangente. Você conseguiu — repassa isso umas duas vezes que na prova sai tranquilo.

Resposta

-\frac{1}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{4}

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