Informações dadas: \; o integrando é a função racional \dfrac{8x}{(2x+1)(4x^{2}+1)}.\n \; os limites de integração são 0 e \tfrac{1}{2}.\n
A nossa missão: calcular essa integral usando frações parciais e técnicas básicas de integração (logaritmo e arctangente). Nada mais além disso é necessário.
Passo 2
Vamos decompor a função racional em frações parciais. Como o denominador tem um fator linear (2x+1) e um quadrático irrreducível (4x^{2}+1), a decomposição tem a forma
\displaystyle \int \frac{2}{4x^{2}+1}\,dx.
Recorde a primitiva \int \frac{1}{a^{2}x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{a}\arctan(ax). Aqui a=2 porque 4x^{2}=(2x)^{2}. Então