(Integral de Superfície) Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
no primeiro octante (isto
, onde
), orientada para fora.(1 pt)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
onde está dado:
e
é a parte da esfera
no primeiro octante, ou seja, a porção com
,
,
. A orientação pedida é “para fora” (vetor normal apontando para fora da esfera).
Portanto, a pergunta é: qual é o valor numérico de nessa porção da esfera?
Portanto, a pergunta é: qual é o valor numérico de
Passo 2
O que significa
?
Isto é o fluxo do campo através da superfície
. A definição que usamos é
Isto é o fluxo do campo
onde
é o vetor normal unitário à superfície apontando na orientação escolhida (aqui, para fora) e
é o elemento de área da superfície.
Em palavras: em cada ponto da superfície nós tomamos a componente de na direção normal (isto é
) e somamos isso sobre toda a área de
.
Em palavras: em cada ponto da superfície nós tomamos a componente de
Passo 3
Agora vamos achar o vetor normal unitário
na esfera. A esfera é dada pela equação
Um vetor normal (não necessariamente unitário) à superfície é o gradiente
. Calculando:
O vetor normal unitário para a orientação “para fora” é
. Como
e estamos sobre a esfera onde
, temos
Note que aqui
já é unitário porque estamos na esfera de raio
. Esse vetor aponta radialmente para fora, como esperado.
Passo 4
Calcule
no ponto da superfície. Como
e
, temos
Mas na esfera
. Portanto o integrando é constante:
Passo 5
Com isso a integral de superfície se reduz a integrar
sobre
, ou seja, ao cálculo da área de
:
Agora precisamos achar a área da porção da esfera no primeiro octante. A esfera completa de raio
tem área
Os três planos coordenados
,
,
dividem a esfera em
partes congruentes (cada octante corresponde a um sinal combinação de
). Portanto a área do primeiro octante é
da área total:
Passo 6
(Verificação alternativa por parametrização — útil na prova para quem preferir calcular diretamente.)
Parametrizo a esfera unidade com coordenadas esféricas: para (azimute) e
(colatitude measured from
-axis), a parametrização da superfície é
Parametrizo a esfera unidade com coordenadas esféricas: para
O elemento de área é
Então a área do primeiro octante é
confirmando o resultado.