(Integral de Superfície) Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 no primeiro octante (isto \dot{e}, onde x, y, z \geq 0 ), orientada para fora.(1 pt)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
\iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S},
onde está dado:
\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)
e S é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
no primeiro octante, ou seja, a porção com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. A orientação pedida é “para fora” (vetor normal apontando para fora da esfera).
Portanto, a pergunta é: qual é o valor numérico de \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} nessa porção da esfera?

Passo 2

O que significa \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}?
Isto é o fluxo do campo \vec{F} através da superfície S. A definição que usamos é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{S}\vec{F}\cdot \vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície apontando na orientação escolhida (aqui, para fora) e dS é o elemento de área da superfície.
Em palavras: em cada ponto da superfície nós tomamos a componente de \vec{F} na direção normal (isto é \vec{F}\cdot\vec{n}) e somamos isso sobre toda a área de S.

Passo 3

Agora vamos achar o vetor normal unitário \vec{n} na esfera. A esfera é dada pela equação
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.
Um vetor normal (não necessariamente unitário) à superfície é o gradiente \nabla f. Calculando:
\nabla f=(2x,2y,2z).
O vetor normal unitário para a orientação “para fora” é \dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}. Como \|\nabla f\|=2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e estamos sobre a esfera onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, temos
\vec{n}=\frac{(2x,2y,2z)}{2\sqrt{1}}=(x,y,z).
Note que aqui (x,y,z) já é unitário porque estamos na esfera de raio 1. Esse vetor aponta radialmente para fora, como esperado.

Passo 4

Calcule \vec{F}\cdot\vec{n} no ponto da superfície. Como \vec{F}=(x,y,z) e \vec{n}=(x,y,z), temos
\vec{F}\cdot\vec{n}=x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Mas na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Portanto o integrando é constante:
\vec{F}\cdot\vec{n}=1\quad\text{sobre toda a superfície }S.í

Passo 5

Com isso a integral de superfície se reduz a integrar 1 sobre S, ou seja, ao cálculo da área de S:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{S}1\,dS=\text{área}(S).á
Agora precisamos achar a área da porção da esfera no primeiro octante. A esfera completa de raio 1 tem área
4\pi(1)^{2}=4\pi.
Os três planos coordenados x=0, y=0, z=0 dividem a esfera em 8 partes congruentes (cada octante corresponde a um sinal combinação de x,y,z). Portanto a área do primeiro octante é \dfrac{1}{8} da área total:
\text{área}(S)=\frac{1}{8}\cdot 4\pi=\frac{\pi}{2}.á

Passo 6

(Verificação alternativa por parametrização — útil na prova para quem preferir calcular diretamente.)
Parametrizo a esfera unidade com coordenadas esféricas: para 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2} (azimute) e 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2} (colatitude measured from z-axis), a parametrização da superfície é
\vec{r}(\theta,\varphi)=(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi).
O elemento de área é
dS=\left\|\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\right\|d\theta d\varphi=\sin\varphi\,d\theta d\varphi.
Então a área do primeiro octante é
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\theta d\varphi =\left(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\right) =\frac{\pi}{2}\cdot\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}\cdot(1)=\frac{\pi}{2},
confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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