(Teorema de Green) Seja \vec{F}(x, y)=\left(x^{2} y, 3 y\right) e C a fronteira do quadrado com vértices (0,0), (1,0),(1,1),(0,1), orientado positivamente. Use o Teorema de Green para calcular \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} \cdot(1,25 pt)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=\left(x^{2}y,\;3y\right) e a curva C, que é a fronteira do quadrado com vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), orientada positivamente. A pergunta é: calcular \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} usando o Teorema de Green.
Informações relevantes listadas:
  • O campo tem componentes P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=3y.
  • A curva C é a fronteira do quadrado unitário D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
  • A orientação “positiva” significa sentido anti-horário (counterclockwise).
    A partir daqui vamos aplicar o teorema indicado e calcular passo a passo.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Green (forma para circulação):
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada termo: P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo vetorial \vec{F}=(P,Q). A integral de linha à esquerda é a circulação de \vec{F} ao redor da fronteira C orientada positivamente. O lado direito é a integral dupla sobre a região D limitada por C. A expressão \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.

Passo 3

Identificamos P e Q no nosso caso:
P(x,y)=x^{2}y,\qquad Q(x,y)=3y.
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas:
  • Para \frac{\partial Q}{\partial x}: como Q(x,y)=3y não depende de x, temos
\frac{\partial Q}{\partial x}=0.
  • Para \frac{\partial P}{\partial y}: como P(x,y)=x^{2}y, derivando em relação a y (tratando x como constante) obtemos
\frac{\partial P}{\partial y}=x^{2}.
Logo o integrando do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 - x^{2} = -x^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, a integral procurada vira a integral dupla sobre o quadrado unitário D:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D} (-x^{2})\,dA.
Como D=\{0\le x\le1,\;0\le y\le1\}, podemos escrever a integral iterada (primeiro em y, depois em x):
\iint_{D} (-x^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} (-x^{2})\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y. Note que o integrando -x^{2} não depende de y, então a integral em y é simplesmente -x^{2} vezes o comprimento do intervalo em y (que é 1):
\int_{y=0}^{1} (-x^{2})\,dy = (-x^{2})\cdot(1-0) = -x^{2}.
Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{1} (-x^{2})\,dx = -\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Calculando a primitiva de x^{2}: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}. Portanto
-\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = -\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = -\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right) = -\frac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o valor negativo significa que, no sentido anti-horário, a circulação líquida do campo sobre esse quadrado é -\tfrac{1}{3}. Fizemos tudo pelo Teorema de Green (que transforma a integral de linha em uma integral de área), que é exatamente o pedido do enunciado.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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