(Teorema de Green) Seja
e
a fronteira do quadrado com vértices
,
, orientado positivamente. Use o Teorema de Green para calcular
pt)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
, que é a fronteira do quadrado com vértices
,
,
,
, orientada positivamente. A pergunta é: calcular
usando o Teorema de Green.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- O campo tem componentes
e . - A curva
é a fronteira do quadrado unitário . - A orientação “positiva” significa sentido anti-horário (counterclockwise).
A partir daqui vamos aplicar o teorema indicado e calcular passo a passo.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Green (forma para circulação):
Explicando cada termo:
e
são as componentes do campo vetorial
. A integral de linha à esquerda é a circulação de
ao redor da fronteira
orientada positivamente. O lado direito é a integral dupla sobre a região
limitada por
. A expressão
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Identificamos
e
no nosso caso:
Agora calculamos as derivadas parciais pedidas:
- Para
: como não depende de , temos
- Para
: como , derivando em relação a (tratando como constante) obtemos
Logo o integrando do teorema é
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, a integral procurada vira a integral dupla sobre o quadrado unitário
:
Como
, podemos escrever a integral iterada (primeiro em
, depois em
):
Passo 5
Calculamos a integral interna em
. Note que o integrando
não depende de
, então a integral em
é simplesmente
vezes o comprimento do intervalo em
(que é
):
Agora integramos em
:
Calculando a primitiva de
:
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o valor negativo significa que, no sentido anti-horário, a circulação líquida do campo sobre esse quadrado é
. Fizemos tudo pelo Teorema de Green (que transforma a integral de linha em uma integral de área), que é exatamente o pedido do enunciado.