1. integral t d t(raiz1-t^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral t,dt(raiz1 - t^2)^3. O conteúdo aqui é integração de funções com potências de expressões quadráticas e vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Observamos que
(raiz1 - t^2)^3 = (1 - t^2)^3/2, então o integrando vira t(1 - t^2)^-3/2. Como a derivada de 1 - t^2 é -2t, faz sentido usar a substituição u = 1 - t^2.

Passo 3

Derivando u em relação a t temos
du = -2t,dt e portanto
t,dt = -du2 Fazendo a troca na integral obtemos
integral t(1 - t^2)^-3/2 dt = integral -tfrac12u^-3/2 du = -tfrac12integral u^-3/2 du

Passo 4

Para integrar pela regra de potência integral u^n du = tfracu^n+1n+1 com n = -tfrac32, vem
integral u^-3/2 du = u^-1/2-1/2 = -2u^-1/2 Multiplicando por -tfrac12 resulta em u^-1/2.

Passo 5

Voltando para t, temos
u^-1/2 = 1raizu = 1raiz1 - t^2

Resposta

1raiz1 - t^2 + C

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