Seja f: R R a função denida por: f(x)=|x+1|+|2-2 x|+x.
(3) Qual é o subconjunto do domínio U de f tal que f restrita a U é:
© constante.

Passo 1

O enunciado pede para achar o subconjunto U⊆ℝ em que f(x)=|x+1|+|2-2x|+x seja constante. O conteúdo usado é valor absoluto e funções definidas por partes: vamos reescrever f nos intervalos em que cada módulo muda de sinal e verificar onde a expressão resultante não depende de x.

Passo 2

Encontramos os pontos em que os argumentos dos módulos mudam de sinal resolvendo x+1=0 ⇒ x=−1 e 2−2x=0 ⇒ x=1. Com isso, particionamos o domínio em três intervalos: (−∞,−1], [−1,1], [1,∞).

Passo 3

Em cada intervalo substituímos |x+1| e |2−2x| por sua forma algébrica e simplificamos. Assim,
Reescrita em forma de partes:
f(x)= -2x+1,&x<=-1, 3,&-1<= x<=1, 4x-1,&x>=1

Passo 4

Observamos que somente em [−1,1] a expressão resultante é constante (f(x)=3). Portanto esse é o subconjunto buscado.

Resposta

U=[-1,1]

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