Considere f(x)=-x^6+7 x^3-15, x in R. Sejam g e h duas funções reais, diferenciáveis em R. Quanto vale a derivada do produto w(x)=f(x) cdot g(x) cdot h(x) em x=1 ?
A tabela a seguir informa alguns dados sobre g e h.
|l|l|l|ll|l|l|l| hline$g(1)$ & $g^prime(1)$ & $g^prime(8)$ & $h(1)$ & $h^prime(1)$ & $h^prime(3)$ & $h(6)$ & $h^prime(6)$ hline-5 & -20 & 3 & -1 & 4 & $2 pi / 3$ & -2 & 7 hline -1 pi / 2 -9
-5 -20 3 -1 4 -2 7
15



18
Limpar minha escolha

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função quando . As funções e são diferenciáveis em todos os números reais, o que significa que podemos usar regras de derivação para resolver o problema. Para isso, vamos precisar da regra do produto para derivadas e dos valores fornecidos na tabela para , , e .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f(x) = -x^6 + 7x^3 - 15 . A função f'(x) = ddx(-x^65) + ddx(7x^35) + ddx(-15) é dada por:
f'(x) = -6x^55 + 21x^25 + 0 = -6x^5 + 21x^25
Para derivar f'(1) = -6(1)^5 + 21(1)^25 = -6 + 215 = 155 = 3 , aplicamos a regra do poder:
Agora, substituímos para encontrar :

Passo 3

Em seguida, precisamos dos valores de g(1) = -5, g'(1) = -20, h(1) = -1, h'(1) = 4 , f(1) = -(1)^6 + 7(1)^3 - 15 = -1 + 7 - 15 = 55 = 1 , , e . Já temos alguns desses valores na tabela:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto para três funções. A derivada de w'(x) = f'(x) cdot g(x) cdot h(x) + f(x) cdot g'(x) cdot h(x) + f(x) cdot g(x) cdot h'(x) é dada por:
w'(1) = f'(1) cdot g(1) cdot h(1) + f(1) cdot g'(1) cdot h(1) + f(1) cdot g(1) cdot h'(1)
Substituindo w'(1) = 3 cdot (-5) cdot (-1) + 1 cdot (-20) cdot (-1) + 1 cdot (-5) cdot 4 :

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
3 cdot (-5) cdot (-1) = 15
1 cdot (-20) cdot (-1) = 20
1 cdot (-5) cdot 4 = -20
Somando tudo:
15 + 20 - 20 = 15

Resposta

A derivada de em vale 15.

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