Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral0^2(x+3) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral iterada, que é tipo uma integral dentro de outra integral. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis, mas calma que vou explicar tudinho passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^1 integral0^2(x + 3) , dy , dx
Aqui, temos uma função que queremos integrar primeiro em relação a de 0 a 2, e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando integral0^2(x + 3) , dy = (x + 3) cdot y |0^2 em relação a . Como não depende de , a integração é simples. A integral de uma constante em relação a é a constante multiplicada por :

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para (x + 3) cdot 2 - (x + 3) cdot 0 = 2(x + 3) :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 2(x + 3) , dx de 0 a 1:
2 integral0^1 (x + 3) , dx
Podemos simplificar retirando a constante 2 para facilitar:

Passo 6

Vamos integrar 2 ( x^22 + 3x ) |0^1 em relação a . A integral de em relação a é e a integral de 3 em relação a é :

Passo 7

Aplicando os limites de integração para 2 ( ( 1^22 + 3 cdot 1 ) - ( 0^22 + 3 cdot 0 ) ) = 2 ( 12 + 3 ) = 2 ( 72 ) = 7 :

Resposta

O valor da integral iterada é 7.

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