A integral tripla de certa função
sobre o sólido exterior a uma esfera e interior a um cilindro circular é dada, em coordenadas cilindricas, por
Como se escreve essa integral em coordenadas cartesianas?
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O problema é transformar essa integral, que está escrita em coordenadas cilíndricas, para coordenadas cartesianas. Pra isso, a gente vai precisar entender como funcionam essas duas coordenadas e como converter uma para a outra. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas e cartesianas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos $ r $, $ \theta $ e $ z $, onde $ r $ é a distância radial, $ \theta $ é o ângulo e $ z $ é a altura. Já nas coordenadas cartesianas, a gente usa $ x $, $ y $ e $ z $. As relações entre elas são:
Também precisamos lembrar que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ r , dz , dr , d\theta $ e, em cartesianas, é $ dx , dy , dz $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral que a gente tem:
Nosso objetivo é reescrever essa integral usando $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 4
Primeiro, vamos substituir $ r $ e $ \theta $ em termos de $ x $ e $ y $. Sabemos que $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $ e $ \theta = \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)} $. Além disso, $ \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} $.
Passo 5
Substituindo essas relações na função $ r^{3} \sin^{2} \theta $, temos:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. A integral original está sobre o sólido externo a uma esfera e interno a um cilindro circular. Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em:
- A esfera: $ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 $ (vamos supor $ R = 1 $ para simplificar)
- O cilindro: $ x^2 + y^2 = 1 $
Então, os limites para $ z $ ficam entre 0 e $ 1 + \sqrt{1 - x^2 - y^2} $.
Passo 7
Finalmente, substituindo tudo na integral tripla em coordenadas cartesianas e lembrando que o elemento de volume $ dV = dx , dy , dz $, temos:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cartesianas fica: