integral triplaB 24 d V onde B é o tetraedro de vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla integral triplaB 24 , dV, onde B é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais triplas em geometria. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para esse tetraedro e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro B. Esse tetraedro está no primeiro octante do espaço, pois todas as coordenadas x, y e z são maiores ou iguais a zero. Além disso, como os vértices estão em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), a equação que relaciona x, y e z no interior do tetraedro é x + y + z <= 1. Isso nos dá os limites para as integrais.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a z, depois a y e por último a x.
  • Para x, o limite vai de 0 a 1.
  • Para um valor fixo de x, y varia de 0 a 1 - x.
  • Para valores fixos de x e y, z varia de 0 a 1 - x - y.
Então, a integral tripla fica:
integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y 24 , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integração em relação a z:
integral0^1 - x - y 24 , dz = 24z g|0^1 - x - y = 24(1 - x - y)
  1. Integração em relação a y:
integral0^1 - x 24(1 - x - y) , dy = 24 [ (1 - x)y - y^22 ] g|0^1 - x
Substituindo:
24 [ (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 ] = 24 [ (1 - x)^22 ] = 12(1 - x)^2
  1. Integração em relação a x:
integral0^1 12(1 - x)^2 , dx = 12 [ (1 - x)^33 ] g|0^1 = 12 [ 0 - 13 ] = -4
Como estamos lidando com áreas positivas, o valor final é 4.

Resposta

O valor da integral tripla é 4.

Exercícios relacionados