Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla , onde é o tetraedro com vértices em , , e . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais triplas em geometria. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para esse tetraedro e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Esse tetraedro está no primeiro octante do espaço, pois todas as coordenadas , e são maiores ou iguais a zero. Além disso, como os vértices estão em , e , a equação que relaciona , e no interior do tetraedro é . Isso nos dá os limites para as integrais.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a , depois a e por último a .
Para , o limite vai de a .
Para um valor fixo de , varia de a .
Para valores fixos de e , varia de a .
Então, a integral tripla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integração em relação a :
Integração em relação a y:
integral0^1 - x 24(1 - x - y) , dy = 24 [ (1 - x)y - y^22 ] g|0^1 - x