onde
é o paralelepípedo dado por
e
. (Resp: 9)
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral tripla
, onde o conjunto
é um paralelepípedo definido pelas desigualdades
,
e
. O conteúdo que vai ajudar aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas sobre regiões retangulares. Vamos precisar integrar a função
nas três direções:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral tripla sobre um paralelepípedo pode ser resolvida integrando sequencialmente em cada variável, mantendo os limites constantes. Então, vamos começar integrando em relação a
, depois em
e por último em
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
em relação a
de
a
é:
A integral de
de
a
é:
Então, a primeira integral resulta em:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
, de
a
:
A integral de
de
a
é:
Então, a segunda integral fica:
Passo 5
Por fim, vamos integrar
em relação a
, de
a
:
A integral de
de
a
é:
Então, a terceira integral resulta em:
Resposta
O valor da integral tripla é 9.