integral triplaB 2 x y z d V onde B é o paralelepípedo dado por 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2 e 1 <= z <= 2. (Resp: 9)

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral tripla integral triplaB 2xyz , dV, onde o conjunto B é um paralelepípedo definido pelas desigualdades 0 <= x <= 2, 1 <= y <= 2 e 1 <= z <= 2. O conteúdo que vai ajudar aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas sobre regiões retangulares. Vamos precisar integrar a função 2xyz nas três direções: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral tripla sobre um paralelepípedo pode ser resolvida integrando sequencialmente em cada variável, mantendo os limites constantes. Então, vamos começar integrando em relação a x, depois em y e por último em z.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a x. A integral de 2xyz em relação a x de 0 a 2 é:
integral0^2 2xyz , dx = 2yz integral0^2 x , dx
A integral de x de 0 a 2 é:
integral0^2 x , dx = [x^22]0^2 = 2^22 - 0^22 = 2
Então, a primeira integral resulta em:
2yz times 2 = 4yz

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado 4yz em relação a y, de 1 a 2:
integral1^2 4yz , dy = 4z integral1^2 y , dy
A integral de y de 1 a 2 é:
integral1^2 y , dy = [y^22]1^2 = 2^22 - 1^22 = 2 - 0.5 = 1.5
Então, a segunda integral fica:
4z times 1.5 = 6z

Passo 5

Por fim, vamos integrar 6z em relação a z, de 1 a 2:
integral1^2 6z , dz = 6 integral1^2 z , dz
A integral de z de 1 a 2 é:
integral1^2 z , dz = [z^22]1^2 = 2^22 - 1^22 = 2 - 0.5 = 1.5
Então, a terceira integral resulta em:
6 times 1.5 = 9

Resposta

O valor da integral tripla é 9.

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