A integral
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2 d V
em que R é a região sólida interna à esfera x^2+y^2+z^2=9 com z >= 0 x >= 0, é igual a:
81 pi2
81 pi8
27 pi2.
27 pi8
81 pi4
outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral triplaRraizx^2+y^2+z^2;dV
onde R é a parte da bola x^2+y^2+z^2<=9 sujeita a z>=0 e x>=0.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas, transformar dV e determinar bem os limites de r, theta e phi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
com Jacobiano
dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
A esfera x^2+y^2+z^2=9 vira r=3. As condições z>=0 e x>=0 dão
0<=theta<=pi2, 0<=phi<=pi2, 0<= r<=3

Passo 3

A integral fica
integralphi=0^pi/2!integraltheta=0^pi/2!integralr=0^3 l(rr),(r^2sintheta),dr,dtheta,dphi =integral0^pi/2dphiintegral0^pi/2sintheta,dthetaintegral0^3r^3,dr
Calculemos em sequência:
integral0^3r^3,dr = 3^44 = 814, integral0^pi/2sintheta,dtheta = 1, integral0^pi/2dphi = pi2
Multiplicando,
814times1timespi2 = 81pi8

Resposta

81pi8

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