Seja a função f(x)=ln (x), x>0.
a) (10 pontos) Determine a derivada de ordem n da função f(f^(n)(x)= ?). Sugestão: calcule as três primeiras derivadas de f.
b) (5 pontos) Determine uma antiderivada para g(x)=1x, x>0.
c) ( 5 pontos) Determine todas as antiderivadas de g.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f(x)=ln(x), x>0:
  1. A derivada de ordem n, isto é, f^(n)(x).
  2. Uma antiderivada de g(x)=1x.
  3. Todas as antiderivadas de g(x).
    Para isso vamos usar: a regra de derivação de ln(x), a observação de padrões nos primeiros termos e indução (para a parte a), e a integral de 1/x (para b e c).

Passo 2

Calculamos as três primeiras derivadas de f(x)=ln(x):
f'(x)=1x,
f''(x)=l(1xr)'=-1x^2,
f'''(x)=l(-1x^2r)'=2,1x^3
Em forma de fração:
f'(x)=0!x^1, f''(x)=-1!x^2, f'''(x)=2!x^3

Passo 3

Pelo padrão observado, conjecturamos para n>=1:
f^(n)(x) = (-1)^,n-1,(n-1)!;x^-n
Para provar por indução, note que para n=1 a fórmula dá
(-1)^0,0!,x^-1=1x=f'(x),
e se vale para n, então
f^(n+1)(x) =l(f^(n)(x)r)' =l((-1)^n-1(n-1)!x^-nr)' =(-1)^n-1(n-1)!,(-n),x^-(n+1) =(-1)^n,n!,x^-(n+1),
confirmando o passo indutivo.

Passo 4

Para g(x)=1x basta lembrar que
integral 1x,dx = ln(x)+constante
Uma antiderivada particular é
F(x)=ln(x)

Passo 5

As todas as antiderivadas de g são obtidas somando uma constante arbitrária C:
F(x)=ln(x)+C, CinR

Resposta

(a) Para n>=1:
f^(n)(x)=(-1)^,n-1(n-1)!,x^-n
(b) Uma antiderivada de g(x)=1x é
F(x)=ln(x)
(c) Todas as antiderivadas de g são
F(x)=ln(x)+C, CinR

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