Seja a função
.
a) (10 pontos) Determine a derivada de ordem
da função
?). Sugestão: calcule as três primeiras derivadas de
.
b) (5 pontos) Determine uma antiderivada para
.
c) ( 5 pontos) Determine todas as antiderivadas de
.
a) (10 pontos) Determine a derivada de ordem
b) (5 pontos) Determine uma antiderivada para
c) ( 5 pontos) Determine todas as antiderivadas de
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
,
:
- A derivada de ordem
, isto é, . - Uma antiderivada de
. - Todas as antiderivadas de
.
Para isso vamos usar: a regra de derivação de, a observação de padrões nos primeiros termos e indução (para a parte a), e a integral de (para b e c).
Passo 2
Calculamos as três primeiras derivadas de
:
Em forma de fração:
Passo 3
Pelo padrão observado, conjecturamos para
:
Para provar por indução, note que para
a fórmula dá
e se vale para
, então
confirmando o passo indutivo.
Passo 4
Para
basta lembrar que
Uma antiderivada particular é
Passo 5
As todas as antiderivadas de
são obtidas somando uma constante arbitrária
:
Resposta
(a) Para
:
(b) Uma antiderivada de
é
(c) Todas as antiderivadas de
são