integral triplaV z d x d y d z, onde V é a interseção das superfícies z^2 >= h^2R^2(x^2+y^2) e z <= h ; z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular integral triplaV z,dx,dy,dz, onde V é a porção do cone z^2>=tfrach^2R^2(x^2+y^2) limitada por 0<= z<= h. O tema é integral tripla em coordenadas cilíndricas e vamos usar a troca (x,y,z)to(r,theta,z) para simplificar a região.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano dV=r,dr,dtheta,dz. A desigualdade do cone z^2>=tfrach^2R^2r^2 vira r<=tfracRhz. Assim os limites são:
0<=theta<=2pi, 0<= z<= h e 0<= r<=tfracRhz.

Passo 3

A integral em cilíndricas fica:
integral0^2piintegral0^hintegral0^Rhz z,r,dr,dz,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^Rhzr,dr=12l(Rhzr)^2=R^2z^22h^2

Passo 5

Então a integral reduz a
integral0^2piintegral0^hzcdotR^2z^22h^2,dz,dtheta =R^22h^2integral0^2pidthetaintegral0^hz^3dz

Passo 6

Agora calculamos as integrais restantes. Temos
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^hz^3dz=h^44

Passo 7

Multiplicando tudo:
R^22h^2times2pitimesh^44 =pi R^2h^24

Resposta

pi R^2 h^24

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