integral triplaV d x d y d z, onde V é a interseção das superfícies x^2+y^2+z^2 <= R^2 e x^2+y^2+z^2 <= 2 R z, R>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região V definida pela interseção de duas esferas: uma centrada na origem de raio R (x²+y²+z²≤R²) e outra centrada em (0,0,R) de mesmo raio (x²+y²+(z−R)²≤R²). Para resolver precisamos usar integração por fatias (método dos discos) ao longo do eixo z.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que x²+y²+z²≤2Rz equivale a x²+y²+(z−R)²≤R², ou seja, uma esfera de raio R centrada em (0,0,R).
A interseção das duas esferas ocorre para z satisfazendo simultaneamente −R≤z≤R (da esfera na origem) e 0≤z≤2R (da esfera centrada em (0,0,R)). O intervalo comum é 0≤z≤R.

Passo 3

Para cada z em [0,R], o raio da seção transversal é r(z)=min(√(R²−z²), √(2Rz−z²)). Para determinar onde cada expressão é a menor, igualamos
R²−z² = 2Rz−z² ²²²
que dá z=R/2. Assim separamos a integração em dois pedaços: de z=0 a R/2 usamos r²=2Rz−z², e de z=R/2 a R usamos r²=R²−z².

Passo 4

Calculamos o volume por
V = integral0^R/2 πl(2Rz−z²r)dz + integralR/2^R πl(R²−z²r)dz ²²²
Cada integral é simples de resolver:
Calculando a primeira parte:
I1 = πintegral0^R/2 (2Rz−z²)dz = πl[Rz²−tfracz³3r]0^R/2 = tfrac5πR³24 ²²³³
Calculando a segunda parte:
I2 = πintegralR/2^R (R²−z²)dz = πl[R²z−tfracz³3r]R/2^R = tfrac5πR³24 ²²²³³
Somando ambas as contribuições temos V = I₁+I₂ = 5πR³/12.

Resposta

5pi R^312

Exercícios relacionados