, onde
é a interseção das superfícies
,
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região V definida pela interseção de duas esferas: uma centrada na origem de raio R (x²+y²+z²≤R²) e outra centrada em (0,0,R) de mesmo raio (x²+y²+(z−R)²≤R²). Para resolver precisamos usar integração por fatias (método dos discos) ao longo do eixo z.
Passo 2
Primeiro reconhecemos que x²+y²+z²≤2Rz equivale a x²+y²+(z−R)²≤R², ou seja, uma esfera de raio R centrada em (0,0,R).
A interseção das duas esferas ocorre para z satisfazendo simultaneamente −R≤z≤R (da esfera na origem) e 0≤z≤2R (da esfera centrada em (0,0,R)). O intervalo comum é 0≤z≤R.
A interseção das duas esferas ocorre para z satisfazendo simultaneamente −R≤z≤R (da esfera na origem) e 0≤z≤2R (da esfera centrada em (0,0,R)). O intervalo comum é 0≤z≤R.
Passo 3
Para cada z em [0,R], o raio da seção transversal é r(z)=min(√(R²−z²), √(2Rz−z²)). Para determinar onde cada expressão é a menor, igualamos
que dá z=R/2. Assim separamos a integração em dois pedaços: de z=0 a R/2 usamos r²=2Rz−z², e de z=R/2 a R usamos r²=R²−z².
Passo 4
Calculamos o volume por
Cada integral é simples de resolver:
Calculando a primeira parte:
Calculando a primeira parte:
Calculando a segunda parte:
Somando ambas as contribuições temos V = I₁+I₂ = 5πR³/12.