, onde
é a parte comum das superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, ou seja o volume da região
que é a parte comum ao paraboloide
e à esfera
. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas e determinação dos limites de integração.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
,
,
e o elemento de volume
. O paraboloide vira
e a esfera dá
. Como queremos a parte comum acima do paraboloide, o limite em
é de
até
.
O valor máximo de vem da interseção
. Elevando ao quadrado e rearranjando, obtemos
. Fazendo
, isso vira
, cuja raiz positiva é
, logo
vai de
a
.
O valor máximo de
Passo 3
O volume fica portanto
Fazendo a integral em
Então
Passo 4
Dividindo em
e
, calculamos
Passo 5
Subtraindo e multiplicando por
obtemos