integral triplaV d x d y d z, onde V é a parte comum das superfícies 2 a z >= x^2+y^2 e x^2+y^2+z^2 <= 3 a^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaV dx,dy,dz, ou seja o volume da região V que é a parte comum ao paraboloide 2az>= x^2+y^2 e à esfera x^2+y^2+z^2<=3a^2. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas e determinação dos limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume dx,dy,dz=r,dr,dtheta,dz. O paraboloide vira z=dfracr^22a e a esfera dá z=pmraiz3a^2-r^2. Como queremos a parte comum acima do paraboloide, o limite em z é de zmin=dfracr^22a até zmax=raiz3a^2-r^2.
O valor máximo de r vem da interseção dfracr^22a=raiz3a^2-r^2. Elevando ao quadrado e rearranjando, obtemos r^4+4a^2r^2-12a^4=0. Fazendo u=r^2, isso vira u^2+4a^2u-12a^4=0, cuja raiz positiva é u=2a^2, logo r vai de 0 a raiz2,a.

Passo 3

O volume fica portanto
V=integral0^2pi!!integral0^raiz2a!!integralr^2/(2a)^raiz3a^2-r^2r,dz,dr,dtheta
Fazendo a integral em z primeiro dá
integralr^2/(2a)^raiz3a^2-r^2r,dz = rl(raiz3a^2-r^2-r^22ar)
Então
V=2piintegral0^raiz2al[rraiz3a^2-r^2-r^32ar]dr

Passo 4

Dividindo em I1=integral0^raiz2arraiz3a^2-r^2,dr e I2=integral0^raiz2ar^32a,dr, calculamos
I1=13a^3l(3raiz3-1r), I2=a^32

Passo 5

Subtraindo e multiplicando por 2pi obtemos
V=2pil(I1-I2r)=pi a^33l(6raiz3-5r)

Resposta

integral triplaVdx,dy,dz=pi a^33l(6raiz3-5r)

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