integral x^10 cos (x^3) d x

Passo 1

Beleza! Você quer resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em métodos de integração. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas trocando partes da integral por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que dentro do cosseno temos . Isso sugere que podemos deixar . A ideia é transformar a integral em termos de , tornando-a mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^3 dudx = 3x^2 du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3 em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Primeiro, observe que integral x^10 cos(x^3) , dx = integral x^8 cdot x^2 cos(u) , dx :
= 13 integral x^8 cos(u) , du
Substituindo por :

Passo 5

Agora, precisamos expressar x^8 = (u^1/3)^8 = u^8/3 em termos de = 13 integral u^8/3 cos(u) , du , já que . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Aí está o desafio: a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, como polinômios, exponenciais ou funções trigonométricas básicas. Isso significa que não existe uma expressão simples para essa antiderivada usando as funções que normalmente aprendemos no cálculo básico.

Passo 7

Portanto, a integral original não pode ser resolvida de forma exata usando métodos padrão de integração. Para resolver de maneira mais avançada, precisaríamos recorrer a funções especiais ou técnicas mais complexas que estão além do escopo do cálculo básico.

Resposta

A integral não possui uma antiderivada expressável em termos de funções elementares.

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