Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
e^y / x d x+5^2 y / x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial e^y/x,dx + 5^2y/x,dy = 0 é homogênea. O conteúdo principal aqui é a definição de funções homogêneas em duas variáveis e o critério de homogeneidade para equações diferenciais do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0.

Passo 2

Devemos lembrar que uma função f(x,y) é homogênea de grau n se, para todo t>0, vale f(tx,ty) = t^n f(x,y). Para a equação ser homogênea, tanto M quanto N devem ser homogêneas do mesmo grau.

Passo 3

Aqui M(x,y) = e^y/x. Calculando M(tx,ty):
M(tx,ty) = e^(ty)/(tx) = e^y/x = t^0 e^y/x = t^0 M(x,y)
Logo, M é homogênea de grau 0.

Passo 4

Análogo para N(x,y) = 5^2y/x:
N(tx,ty) = 5^2(ty)/(tx) = 5^2y/x = t^0 5^2y/x = t^0 N(x,y)
Portanto, N também é homogênea de grau 0. Como ambos têm o mesmo grau de homogeneidade, a equação diferencial é homogênea.

Resposta

A equação e^y/x,dx + 5^2y/x,dy = 0 é homogênea, pois seus coeficientes são homogêneos de grau 0.

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