Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é homogênea. O conteúdo principal aqui é a definição de funções homogêneas em duas variáveis e o critério de homogeneidade para equações diferenciais do tipo
.
Passo 2
Devemos lembrar que uma função
é homogênea de grau
se, para todo
, vale
. Para a equação ser homogênea, tanto
quanto
devem ser homogêneas do mesmo grau.
Passo 3
Aqui
. Calculando
:
Logo,
é homogênea de grau
.
Passo 4
Análogo para
:
Portanto,
também é homogênea de grau
. Como ambos têm o mesmo grau de homogeneidade, a equação diferencial é homogênea.
Resposta
A equação
é homogênea, pois seus coeficientes são homogêneos de grau 0.