1. integral x^2(1+x^2)^5 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2(1+x^2)^5/2,dx. Isso é um exercício de cálculo de integrais impróprias do tipo racional com radical no denominador, e vamos precisar usar uma decomposição algébrica do numerador e depois reconhecer integrais padrões.

Passo 2

Observando o numerador, percebemos que x^2 = (1+x^2) - 1. Assim, a integral se separa:
integral x^2(1+x^2)^5/2,dx = integral 1+x^2(1+x^2)^5/2,dx - integral 1(1+x^2)^5/2,dx
E isso simplifica para
integral (1+x^2)^-3/2,dx - integral (1+x^2)^-5/2,dx

Passo 3

Para a primeira parte, integral (1+x^2)^-3/2,dx, notamos que a função F(x)=dfracxraiz1+x^2 tem derivada
F'(x)=1(1+x^2)^3/2
Portanto
integral (1+x^2)^-3/2,dx = xraiz1+x^2 + C1

Passo 4

Para a segunda parte, integral (1+x^2)^-5/2,dx, usamos a substituição trigonométrica x=tantheta, de modo que dx=sec^2theta,dtheta e 1+x^2=sec^2theta. A integral vira
integral sec^-5thetacdotsec^2theta,dtheta = integral cos^3theta,dtheta
Integramos cos^3theta=costheta(1-sin^2theta) com a mudança u=sintheta, obtendo
sintheta - sin^3theta3 + C2
Voltando a x, temos sintheta=tfracxraiz1+x^2, logo
integral (1+x^2)^-5/2,dx = xraiz1+x^2 - x^33(1+x^2)^3/2 + C2

Passo 5

Agora basta subtrair as duas partes e juntar as constantes:
integral x^2(1+x^2)^5/2,dx = l(xraiz1+x^2r) - l(xraiz1+x^2 - x^33(1+x^2)^3/2r) + C
Isso simplifica para
x^33(1+x^2)^3/2 + C

Resposta

x^33(1+x^2)^3/2 + C

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