Seja F(x, y, z)=y^2 i+x y j+x z k, S o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, e n o vetor normal unitário com a componente z não negativa. Calcule integral duplaS(nabla times f) cdot n d S via Teorema de Stokes.

Passo 1

Temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=y^2,vec i + xy,vec j + xz,vec k e a superfície S é o hemisfério unitário x^2+y^2+z^2=1,;z>=0. O objetivo é calcular integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS usando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes vale
integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS=ointpartial Svec Fcdot dvec r
A curva partial S é o círculo x^2+y^2=1,;z=0, orientado anti-horário visto de cima (normal com componente z positiva).

Passo 3

Parametrizamos partial S por
vec r(t)=(cos t,,sin t,,0), tin[0,2pi],
e
dvec r=(-sin t,,cos t,,0),dt

Passo 4

Em vec r(t) temos
vec F(vec r(t))=(sin^2t,,cos tsin t,,0)
Então
vec Fcdot dvec r = sin^2t(-sin t),dt + (cos tsin t)(cos t),dt = [-sin^3t+cos^2tsin t],dt
Fatorando,
-sin^3t+cos^2tsin t=sin t(cos^2t-sin^2t)=sin tcos2t

Passo 5

Usando a identidade sin tcos2t=tfrac12[sin3t-sin t], a integral
integral0^2pisin tcos2t,dt=tfrac12l(integral0^2pisin3t,dt-integral0^2pisin t,dtr)=0-0=0
Logo, pelo Teorema de Stokes, tínhamos a integral de superfície igual a essa integral de contorno, que deu zero.

Resposta

0

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