Seja
o hemisfério
, e
o vetor normal unitário com a componente
não negativa. Calcule
via Teorema de Stokes.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e a superfície
é o hemisfério unitário
. O objetivo é calcular
usando o Teorema de Stokes.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes vale
A curva
é o círculo
, orientado anti-horário visto de cima (normal com componente
positiva).
Passo 3
Parametrizamos
por
e
Passo 4
Em
temos
Então
Fatorando,
Passo 5
Usando a identidade
, a integral
Logo, pelo Teorema de Stokes, tínhamos a integral de superfície igual a essa integral de contorno, que deu zero.
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