integral x(x^2+3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x(x^2+3)^2 , dx. Esse problema está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser simplificada fazendo uma troca de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observamos que o denominador é (x^2 + 3)^2 e o numerador tem um x. Isso sugere que podemos usar u = x^2 + 3.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du. Derivando u = x^2 + 3, temos:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral x(x^2+3)^2 , dx = integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du

Passo 5

Agora, integramos u^-2 em relação a u. A integral de u^-2 é:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Então, nossa expressão fica:
12 ( -1u ) + C = -12u + C

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original x substituindo u = x^2 + 3:
-12u + C = -12(x^2 + 3) + C

Resposta

A integral integral x(x^2+3)^2 , dx é igual a -12(x^2 + 3) + C.

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