integral (x^2+2 x+1) d x(1+x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral x^2+2x+1(1+x^2)^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais; vamos usar a estratégia de decompor o numerador e fazer uma substituição, além de reconhecer a derivada de arctan(x).

Passo 2

Repare que o numerador x^2+2x+1 se separa em (x^2+1)+2x. Assim,
x^2+2x+1(1+x^2)^2 =x^2+1(1+x^2)^2+2x(1+x^2)^2 =11+x^2+2x(1+x^2)^2

Passo 3

A primeira parcela é direta, pois sabemos que
ddxl(arctan(x)r)=11+x^2
Logo,
integral 11+x^2,dx = arctan(x)

Passo 4

Na segunda parcela, fazemos a substituição u=1+x^2, o que dá du=2x,dx. Então
integral 2x(1+x^2)^2,dx =integral duu^2 =-1u =-11+x^2

Passo 5

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, vem
integral x^2+2x+1(1+x^2)^2,dx =arctan(x);-;11+x^2;+;C

Resposta

arctan(x);-;11+x^2;+;C

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