Seja ( M, d ) um espaço métrico e X subset M.
(1,5 ponto) a) Seja x in M. Mostre que se y in Bepsilon(x), então |d(y, X)-d(x, X)|<epsilon. (Lembre que d(x, X):= inf d(x, y) ; y in X)
(1 ponto) b) Seja C subset M um conjunto conexo. Mostre que para todo t in R tal que inf d(y, X) ; y in C<t< sup d(y, X) ; y in C, existe x0 in C tal que
d(x0, X)=t
(Dica: Conclua de a ), que x in M mapsto d(x, X) in R é uma função contínua. Use este fato.)

Passo 1

O enunciado define, num espaço métrico (M,d) e um subconjunto Xsubset M, a função
fcolon MtoR, f(x)=d(x,X)=infd(x,y)colon yin X
Em (a) queremos mostrar que f é Lipschitz de constante 1, isto é,
lvert f(y)-f(x)rvert<epsilon sempre que d(x,y)<epsilon. Em (b) usamos então que f é contínua e aplicamos o teorema do valor intermediário numa parte conectada Csubset M.

Passo 2

Para provar a desigualdade de Lipschitz, seja x,yin M. Para cada zin X temos, pela desigualdade triangular,
d(y,z)<= d(y,x)+d(x,z)
Tomando o ínfimo em zin X no lado esquerdo e usando que infd(x,z)colon zin X=d(x,X), obtemos
d(y,X)<= d(y,x)+d(x,X)
Trocando o papel de x e y chega-se a
d(x,X)<= d(x,y)+d(y,X)
Subtraindo adequadamente essas duas desigualdades segue-se
lvert d(y,X)-d(x,X)rvert<= d(x,y)
Em particular, se yin Bepsilon(x) então d(x,y)<epsilon e daí
lvert d(y,X)-d(x,X)rvert<epsilon,
como queríamos.

Passo 3

Da conclusão anterior vemos que
lvert f(y)-f(x)rvert=lvert d(y,X)-d(x,X)rvert<= d(x,y),
isto é, f é Lipschitz de constante 1 e portanto contínua em todo M.

Passo 4

Agora considere Csubset M conectado e restrinja f a C. Como a imagem contínua de um espaço conectado é um subconjunto conectado de R, temos que f(C) é um intervalo em R. Logo
inf f(C)<t<sup f(C)Longrightarrow tin f(C)
Isto significa que existe x0in C tal que f(x0)=t, ou seja
d(x0,X)=t

Resposta

Existe x0in C tal que d(x0,X)=t.

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