Seja (
) um espaço métrico e
.
(1,5 ponto) a) Seja
. Mostre que se
, então
. (Lembre que
(1 ponto) b) Seja
um conjunto conexo. Mostre que para todo
tal que
, existe
tal que
(Dica: Conclua de
), que
é uma função contínua. Use este fato.)
(1,5 ponto) a) Seja
(1 ponto) b) Seja
Passo 1
O enunciado define, num espaço métrico
e um subconjunto
, a função
Em (a) queremos mostrar que
é Lipschitz de constante
, isto é,
sempre que
. Em (b) usamos então que
é contínua e aplicamos o teorema do valor intermediário numa parte conectada
.
Passo 2
Para provar a desigualdade de Lipschitz, seja
. Para cada
temos, pela desigualdade triangular,
Tomando o ínfimo em
no lado esquerdo e usando que
, obtemos
Trocando o papel de
e
chega-se a
Subtraindo adequadamente essas duas desigualdades segue-se
Em particular, se
então
e daí
como queríamos.
Passo 3
Da conclusão anterior vemos que
isto é,
é Lipschitz de constante 1 e portanto contínua em todo
.
Passo 4
Agora considere
conectado e restrinja
a
. Como a imagem contínua de um espaço conectado é um subconjunto conectado de
, temos que
é um intervalo em
. Logo
Isto significa que existe
tal que
, ou seja
Resposta
Existe
tal que
.