integral x^4+2 x^2+3x^3+4 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Precisamos resolver a integral . Isso envolve integrar uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar divisão polinomial e possivelmente fracionamento em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, note que o grau do numerador ( ) é maior que o grau do denominador ( ). Quando isso acontece, é necessário fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^4 + 2x^2 + 3x^3 + 4x = x + -4x + 3x^3 + 4x por :
Aqui, é o resultado da divisão, e é o resto dividido pelo denominador original.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral dividindo-a em duas partes:
integral x^4 + 2x^2 + 3x^3 + 4x , dx = integral x , dx + integral -4x + 3x^3 + 4x , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral, que é mais simples:
integral x , dx = 12x^2 + C1
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda integral:
integral -4x + 3x^3 + 4x , dx
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 + 4x = x(x^2 + 4)

Passo 7

Com o denominador fatorado, vamos usar frações parciais para decompor a fração. Assumimos que:
-4x + 3x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 8

Multiplicamos ambos os lados da equação por -4x + 3 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
-4x + 3 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Simplificando:

Passo 9

Agrupando termos semelhantes:
-4x + 3 = (A + B)x^2 + Cx + 4A
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 C = -4 4A = 3

Passo 10

Resolvendo o sistema:
  1. De 34 + B = 0 Rightarrow B = -34 , temos .
  2. De , substituindo :
  3. Já sabemos que .

Passo 11

Agora, substituímos os valores de -4x + 3x(x^2 + 4) = 34x + -34x - 4x^2 + 4 , = 34x - 3x + 164(x^2 + 4) e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:

Passo 12

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 34x , dx = 34 ln|x| + C2
integral -3x - 164(x^2 + 4) , dx = -38 ln(x^2 + 4) - 2 arctan(x2) + C3

Resposta

Juntando todas as partes, a solução da integral é:
12x^2 + 34 ln|x| - 38 ln(x^2 + 4) - 2 arctan(x2) + C
Onde é a constante de integração final.

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