Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Precisamos resolver a integral . Isso envolve integrar uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar divisão polinomial e possivelmente fracionamento em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, note que o grau do numerador () é maior que o grau do denominador (). Quando isso acontece, é necessário fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 3
Vamos dividir por :
Aqui, é o resultado da divisão, e é o resto dividido pelo denominador original.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral dividindo-a em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral, que é mais simples:
Aqui, é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda integral:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 7
Com o denominador fatorado, vamos usar frações parciais para decompor a fração. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 8
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 9
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
De 34 + B = 0 Rightarrow B = -34 , temos .
De , substituindo :
Já sabemos que .
Passo 11
Agora, substituímos os valores de -4x + 3x(x^2 + 4) = 34x + -34x - 4x^2 + 4 , = 34x - 3x + 164(x^2 + 4) e na decomposição das frações parciais: