integral x(2+x^2)^2 d x=(2+x^2)^36+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xl(2 + x^2r)^2,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vemos uma função composta (2+x^2)^2 multiplicada por sua “quase” derivada x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + x^2
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
integral xl(2 + x^2r)^2,dx = integral u^2,l(tfracdu2r) = 12,integral u^2,du

Passo 4

Agora integramos em u:
12,integral u^2,du = 12,cdotu^33 + C = u^36 + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2 + x^2:
u^36 + C = l(2 + x^2r)^36 + C

Resposta

integral xl(2 + x^2r)^2,dx = l(2 + x^2r)^36 + C

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