integral (6 x^4-5 x^3+4 x^2) d x2 x^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1,dx
Estamos diante de uma integral de função racional. Para resolver, primeiro fazemos divisão de polinômios para obter um polinômio mais uma fração própria; depois integramos cada parte separadamente.

Passo 2

Fazemos a divisão de
6x^4-5x^3+4x^2 por 2x^2-x+1
  1. 6x^4div2x^2=3x^2. Multiplicando o divisor por 3x^2 6x^4-3x^3+3x^2.
  2. Subtraindo, o resto passa a ser -2x^3+x^2.
  3. -2x^3div2x^2=-x. Multiplicando o divisor por -x -2x^3+x^2-x.
  4. Subtraindo, o resto final é x.
    Logo
6x^4-5x^3+4x^22x^2-x+1 =3x^2-x+x2x^2-x+1

Passo 3

Escrevendo a integral como soma, temos
integrall(3x^2-xr),dx +integralx2x^2-x+1,dx
A primeira parte é direta:
integral 3x^2,dx = x^3, integral(-x),dx = -x^22
Logo essa parte dá
x^3-x^22

Passo 4

Agora cuidamos de
integral x2x^2-x+1,dx
Perceba que a derivada do denominador é 4x-1. Escrevemos
x = 14(4x-1)+14
para fazer a decomposição
x2x^2-x+1 =14,4x-12x^2-x+1 +14,12x^2-x+1

Passo 5

A primeira integral fica
14integral4x-12x^2-x+1,dx =14lnl|2x^2-x+1r|

Passo 6

Restou
14integral12x^2-x+1,dx
Fazemos quadrado perfeito no denominador:
2x^2-x+1 =2l(x^2-tfrac12xr)+1 =2l(x-tfrac14r)^2+78
Defina v=x-tfrac14, então dx=dv e
integraldx2x^2-x+1 =integraldv2v^2+tfrac78 =12integraldvv^2+l(tfracraiz74r)^2 =12cdot4raiz7 arctan!l(4vraiz7r)
Portanto
14integraldx2x^2-x+1 =14cdot2raiz7 arctan!l(4(x-tfrac14)raiz7r) =12raiz7 arctan!l(4x-1raiz7r)

Resposta

Juntando tudo, a primitiva é
x^3-x^22 +14lnl(2x^2-x+1r) +12raiz7 arctan!l(4x-1raiz7r) +C

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