Nos itens a seguir, dada a função periódica
, no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função
é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para
e
(indicar o software utilizado).
Passo 1
O exercício pede a Série de Fourier de uma função periódica em (–π,π), definida por f(t)=0 em (–π,0) e f(t)=t² em (0,π); ainda verificar se f é par ou ímpar e como isso muda a série, e por fim esboçar as somas parciais para n=1,5,10,30,50.
Passo 2
A Série de Fourier de uma função período 2π é dada por
onde
Como f(t)=0 em (–π,0), todas as integrais viram integral de 0 a π de t² vezes cos(nt) ou sin(nt).
Passo 3
Cálculo de a_0:
Logo o termo constante é a_0/2=π²/6.
Passo 4
Cálculo de a_n:
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
e portanto
Passo 5
Cálculo de b_n:
Integração por partes dupla leva a
assim
Passo 6
Análise de paridade: f(t) não é par (f(–t)≠f(t)) nem ímpar (f(–t)≠–f(t)), ou seja, teremos termos em cosenas e senos na série. Se fosse par só teríamos cos(nt); se fosse ímpar só teríamos sen(nt).
Passo 7
Esboço das somas parciais: usei Python com numpy e matplotlib. A ideia é definir f_periodic como função por partes, gerar um vetor de t em [–π,π], calcular S_N(t)=a_0/2+∑_{n=1}^N[a_n cos(nt)+b_n sin(nt)] para N=1,5,10,30,50 e traçar cada S_N. O código ficaria assim (resumido):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
def f(t):
return np.where(t<0, 0, t**2)
def f(t):
return np.where(t<0, 0, t**2)
a0 = np.pi**2/3
def coef(n):
an = 2*(-1)n/n2
bn = -np.pi*(-1)*n/n + 2((-1)n-1)/(np.pi*n3)
return an, bn
def coef(n):
an = 2*(-1)n/n2
bn = -np.pi*(-1)*n/n + 2((-1)n-1)/(np.pi*n3)
return an, bn
for N in [1,5,10,30,50]:
S = a0/2 + sum(coef(n)[0]np.cos(nt)+coef(n)[1]np.sin(nt) for n in range(1,N+1))
plt.plot(t, S, label=f’N={N}’)
plt.plot(t, f(t), ‘k–’, label=‘f(t)’)
plt.legend(); plt.show()
S = a0/2 + sum(coef(n)[0]np.cos(nt)+coef(n)[1]np.sin(nt) for n in range(1,N+1))
plt.plot(t, S, label=f’N={N}’)
plt.plot(t, f(t), ‘k–’, label=‘f(t)’)
plt.legend(); plt.show()
Passo 8
O gráfico mostra a aproximação da função por suas somas parciais, com maiores N dando aproximação mais fiel, especialmente em (0,π) e Gibbs perto das descontinuidades em t=0 e t=±π.
Resposta
A Série de Fourier é