Nos itens a seguir, dada a função periódica f(t), no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função f(t) é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para n=1, n=5, n=10, n=30 e n=50 (indicar o software utilizado).
f(t)=l 0,-pi

Passo 1

O exercício pede a Série de Fourier de uma função periódica em (–π,π), definida por f(t)=0 em (–π,0) e f(t)=t² em (0,π); ainda verificar se f é par ou ímpar e como isso muda a série, e por fim esboçar as somas parciais para n=1,5,10,30,50.

Passo 2

A Série de Fourier de uma função período 2π é dada por
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nt)+bnsin(nt)r)
onde
a0=1piintegral-pi^pif(t),dt,
an=1piintegral-pi^pif(t)cos(nt),dt,
bn=1piintegral-pi^pif(t)sin(nt),dt
Como f(t)=0 em (–π,0), todas as integrais viram integral de 0 a π de t² vezes cos(nt) ou sin(nt).

Passo 3

Cálculo de a_0:
a0=1piintegral0^pit^2,dt=1picdotpi^33=pi^23
Logo o termo constante é a_0/2=π²/6.

Passo 4

Cálculo de a_n:
an=1piintegral0^pit^2cos(nt),dt
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
integral0^pit^2cos(nt),dt=2pi(-1)^nn^2
e portanto
an=2(-1)^nn^2

Passo 5

Cálculo de b_n:
bn=1piintegral0^pit^2sin(nt),dt
Integração por partes dupla leva a
integral0^pit^2sin(nt),dt=-pi^2(-1)^nn+2(-1)^n-1n^3
assim
bn=-pi(-1)^nn+2((-1)^n-1)pi n^3

Passo 6

Análise de paridade: f(t) não é par (f(–t)≠f(t)) nem ímpar (f(–t)≠–f(t)), ou seja, teremos termos em cosenas e senos na série. Se fosse par só teríamos cos(nt); se fosse ímpar só teríamos sen(nt).

Passo 7

Esboço das somas parciais: usei Python com numpy e matplotlib. A ideia é definir f_periodic como função por partes, gerar um vetor de t em [–π,π], calcular S_N(t)=a_0/2+∑_{n=1}^N[a_n cos(nt)+b_n sin(nt)] para N=1,5,10,30,50 e traçar cada S_N. O código ficaria assim (resumido):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
def f(t):
return np.where(t<0, 0, t**2)
a0 = np.pi**2/3
def coef(n):
an = 2*(-1)n/n2
bn = -np.pi*(-1)*n/n + 2((-1)n-1)/(np.pi*n3)
return an, bn
for N in [1,5,10,30,50]:
S = a0/2 + sum(coef(n)[0]np.cos(nt)+coef(n)[1]np.sin(nt) for n in range(1,N+1))
plt.plot(t, S, label=f’N={N}’)
plt.plot(t, f(t), ‘k–’, label=‘f(t)’)
plt.legend(); plt.show()

Passo 8

O gráfico mostra a aproximação da função por suas somas parciais, com maiores N dando aproximação mais fiel, especialmente em (0,π) e Gibbs perto das descontinuidades em t=0 e t=±π.

Resposta

A Série de Fourier é
f(t)=pi^26+sumn=1^inftyl(2(-1)^nn^2cos(nt)+l[-pi(-1)^nn+2((-1)^n-1)pi n^3r]sin(nt)r)

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