integral-1^1 3 x-7x^2+9 d x.

Passo 1

Resumindo o problema, a gente quer calcular a integral definida
integral-1^13x-7x^2+9,dx
O que vamos usar aqui é: (i) propriedade de paridade de funções (ímpar/par) e (ii) a fórmula de integraltfracdxx^2+a^2=tfrac1aarctan(x/a)+C.

Passo 2

Separamos o integrando em duas parcelas:
3x-7x^2+9=3xx^2+9-7x^2+9
Repare que 3x/(x^2+9) é função ímpar (numerador ímpar, denominador par), então
integral-1^13xx^2+9,dx=0

Passo 3

Portanto a integral original vira
integral-1^13x-7x^2+9,dx=-7integral-1^1dxx^2+9
Como 1/(x^2+9) é função par, a integral de -1 a 1 equivale a duas vezes a integral de 0 a 1:
integral-1^1dxx^2+9=2integral0^1dxx^2+9

Passo 4

Usando a primitiva padrão
integraldxx^2+9=13arctanl(x3r)+C,
avaliamos de 0 a 1:
integral0^1dxx^2+9=13arctanl(13r)

Passo 5

Juntando tudo:
integral-1^13x-7x^2+9,dx=-7times2times13arctanl(13r)=-143arctanl(13r)

Resposta

-\frac{14}{3}\arctan\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)

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