integral0^1(3 x+1) cdot e^2 x d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida de zero a um de (3x+1)e^2x. O conteúdo aqui é reconhecer que esse integrando é a derivada de um produto do tipo (ax+b)e^2x, então vamos usar esse artifício em vez de múltiplas integrações por partes.

Passo 2

Suponha que exista uma função f(x) = (ax + b)e^2x tal que f'(x) = (3x+1)e^2x. Nosso objetivo agora é determinar os valores de a e b.

Passo 3

Calculando a derivada de f(x):
f'(x) = a e^2x + (ax + b) cdot 2e^2x = l(2a,x + (a + 2b)r)e^2x
Para ter f'(x) = (3x+1)e^2x, igualamos coeficientes:
2a = 3 e a + 2b = 1
Daí vem a = tfrac32 e b = -tfrac14.

Passo 4

Como achamos f'(x) igual ao integrando, temos
integral0^1 (3x+1)e^2x,dx = f(1) - f(0)
Agora calculamos:
f(1) = l(tfrac32cdot1 - tfrac14r)e^2 = tfrac54,e^2,
f(0) = l(tfrac32cdot0 - tfrac14r)e^0 = -tfrac14

Passo 5

Fazendo a diferença para obter a integral definida:
f(1) - f(0) = tfrac54,e^2 - (-tfrac14) = tfrac54,e^2 + tfrac14

Resposta

tfrac54 e^2 + tfrac14

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