F (onça) 2 4 6 8
L (polegadas) 7,4 9,6 11,5 13,6
(a) Determine as constantes alpha e beta que definem a reta de quadrados mínimos para esses dados.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.

Passo 1

O problema quer encontrar a reta que melhor ajusta os pontos (F,L) pelas condições de mínimos quadrados e depois usar essa reta para estimar L quando F=5. O conteúdo é regressão linear simples e vamos precisar das fórmulas para média, soma de quadrados e estimadores de coeficientes.

Passo 2

Calcular as médias de F e de L. Temos n=4 pontos, então
bar F=2+4+6+84=5, bar L=7,4+9,6+11,5+13,64=10,525

Passo 3

Construir as somas necessárias:
Sxx=sumi=1^4(Fi-bar F)^2 =(-3)^2+(-1)^2+1^2+3^2=20,
Sxy=sumi=1^4(Fi-bar F)(Li-bar L)=(-3)(-3,125)+(-1)(-0,925)+1(0,975)+3(3,075)=20,5

Passo 4

Calcular o coeficiente angular beta e o intercepto alpha:
beta=SxySxx=20,520=1,025,
alpha=bar L-beta,bar F=10,525-1,025times5=5,4

Passo 5

Montar a equação da reta de mínimos quadrados:
L(F)=5,4+1,025,F

Passo 6

Usar essa reta para estimar o comprimento quando F=5:
L(5)=5,4+1,025times5=10,525

Resposta

As constantes são alpha=5,4 e beta=1,025. Para F=5 onças, o comprimento estimado da mola é Lapprox10,525 polegadas.

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