Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
integral duplaC(y+z) d x+(z+x) d y+(x+z) d z
onde C é o círculo formado pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 e o plano x+y+z=0, orientado positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC (y+z),dx + (z+x),dy + (x+z),dz
onde C é o círculo de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano x+y+z=0, orientado positivamente. O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha num fluxo de nabla times F através de uma superfície S com partial S=C. Precisaremos então de F, de nablatimes F, de escolher uma superfície simples (o disco no plano) e de achar sua normal e área.

Passo 2

Calcular o rotacional do campo F=(P,Q,R)=(y+z,,z+x,,x+z). Usamos
nablatimes F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Calculando termo a termo:
  • partial R/partial y = 0, partial Q/partial z = 1 ⇒ componente x: 0-1=-1.
  • partial P/partial z = 1, partial R/partial x = 1 ⇒ componente y: 1-1=0.
  • partial Q/partial x = 1, partial P/partial y = 1 ⇒ componente z: 1-1=0.
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nablatimes F = (-1,0,0)

Passo 3

Escolher a superfície S como o disco de raio a contido no plano x+y+z=0. Esse plano passa pela origem, então a interseção com a esfera é um círculo de raio a. A normal unitária ao plano (coerente com a orientação positiva de C) pode ser tomada como
n = (1,1,1)raiz3,
pois x+y+z=0 tem gradiente (1,1,1) e queremos o componente z>0 para definir a orientação convencional (visão de cima contrária ao relógio).

Passo 4

Aplicar o Teorema de Stokes:
ointC Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS
Como nablatimes F = (-1,0,0) e n=(1,1,1)/raiz3, temos
(nablatimes F)cdot n = (-1,0,0)cdot(1,1,1)raiz3 = -1raiz3
E a área do disco é pi a^2, pois é um círculo de raio a.

Passo 5

Multiplicar o valor constante pelo área do disco:
ointC Fcdot d r = -1raiz3times(pi a^2) = -pi a^2raiz3

Resposta

-\frac{\pi a^2}{\sqrt3}

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