Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde
é o círculo formado pela interseção da esfera
e o plano
, orientado positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde C é o círculo de interseção da esfera
com o plano
, orientado positivamente. O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de linha num fluxo de
através de uma superfície S com
. Precisaremos então de
, de
, de escolher uma superfície simples (o disco no plano) e de achar sua normal e área.
Passo 2
Calcular o rotacional do campo
. Usamos
Calculando termo a termo:
-
, ⇒ componente : . -
, ⇒ componente : . -
, ⇒ componente : .
Logo
Passo 3
Escolher a superfície S como o disco de raio
contido no plano
. Esse plano passa pela origem, então a interseção com a esfera é um círculo de raio
. A normal unitária ao plano (coerente com a orientação positiva de C) pode ser tomada como
pois
tem gradiente
e queremos o componente
para definir a orientação convencional (visão de cima contrária ao relógio).
Passo 4
Aplicar o Teorema de Stokes:
Como
e
, temos
E a área do disco é
, pois é um círculo de raio
.
Passo 5
Multiplicar o valor constante pelo área do disco:
Resposta
-\frac{\pi a^2}{\sqrt3}