integral x^3 cdot 2^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha é deixar o polinômio de lado e tratar o como parte exponencial.

Passo 3

Vamos definir:
u = x^3 e dv = 2^x , dx
Agora, vamos calcular du = 3x^2 , dx e v = integral 2^x , dx = 2^xln 2 e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 cdot 2^x , dx = u cdot v - integral v , du = x^3 cdot 2^xln 2 - integral 2^xln 2 cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
= x^3 cdot 2^xln 2 - 3ln 2 integral x^2 cdot 2^x , dx

Passo 5

Agora precisamos resolver a nova integral: u = x^2 e dv = 2^x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Definindo:
du = 2x , dx e v = 2^xln 2
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral x^2 cdot 2^x , dx = x^2 cdot 2^xln 2 - integral 2^xln 2 cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 cdot 2^xln 2 - 2ln 2 integral x cdot 2^x , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver u = x e dv = 2^x , dx aplicando novamente a integração por partes.
Definindo:
du = dx e v = 2^xln 2
Calculando e :

Passo 8

Aplicando a integração por partes:
integral x cdot 2^x , dx = x cdot 2^xln 2 - integral 2^xln 2 , dx
Simplificando:
= x cdot 2^xln 2 - 2^x(ln 2)^2

Passo 9

Voltando para a integral anterior:
integral x^2 cdot 2^x , dx = x^2 cdot 2^xln 2 - 2ln 2 ( x cdot 2^xln 2 - 2^x(ln 2)^2 )
Simplificando:
= x^2 cdot 2^xln 2 - 2x cdot 2^x(ln 2)^2 + 2 cdot 2^x(ln 2)^3

Passo 10

Agora, substituindo de volta na integral original:
integral x^3 cdot 2^x , dx = x^3 cdot 2^xln 2 - 3ln 2 ( x^2 cdot 2^xln 2 - 2x cdot 2^x(ln 2)^2 + 2 cdot 2^x(ln 2)^3 )
Distribuindo o = x^3 cdot 2^xln 2 - 3x^2 cdot 2^x(ln 2)^2 + 6x cdot 2^x(ln 2)^3 - 6 cdot 2^x(ln 2)^4 :

Resposta

A integral x^3 cdot 2^xln 2 - 3x^2 cdot 2^x(ln 2)^2 + 6x cdot 2^x(ln 2)^3 - 6 cdot 2^x(ln 2)^4 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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