integral 4 x cos x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 4x cos x , dx. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como x e cos x.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da integral que vamos usar na fórmula de integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = 4x e dv = cos x , dx. Assim, precisamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculamos du derivando u em relação a x:
u = 4x Rightarrow du = 4 , dx
Agora, encontramos v integrando dv:
dv = cos x , dx Rightarrow v = integral cos x , dx = sin x

Passo 4

Aplicamos agora a fórmula de integração por partes:
integral 4x cos x , dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
= 4x sin x - integral sin x cdot 4 , dx
= 4x sin x - 4 integral sin x , dx

Passo 5

Resolvemos a integral restante:
integral sin x , dx = -cos x
Portanto:
4x sin x - 4(-cos x) = 4x sin x + 4 cos x

Resposta

A integral é igual a 4x sin x + 4 cos x + C, onde C é a constante de integração.

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