Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado acima por z=9-x^2, abaixo por z=0 e lateralmente por y^2=3 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado acima por z=9−x², abaixo por z=0 e lateralmente por y²=3x. O conteúdo é integral dupla para volume, e vamos precisar identificar a região no plano xy e integrar a função altura z_max−z_min = 9−x² sobre essa região.

Passo 2

Para descrever a região R no plano xy, note que estamos em x≥0, y≥0 e y² ≤ 3x. Como z≥0 exige x² ≤ 9, temos 0 ≤ x ≤ 3. Para cada x, y vai de 0 até √(3x). Assim montamos a integral dupla
V = integral duplaR (9 - x^2) ,dA = integralx=0^3 integraly=0^raiz3x (9 - x^2) ,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y. Como (9−x²) é constante em y, temos
integraly=0^raiz3x (9 - x^2) ,dy = (9 - x^2)l[yr]0^raiz3x = (9 - x^2)raiz3x
Então
V = integral0^3 (9 - x^2)raiz3x ,dx

Passo 4

Para resolver a integral em x, escrevemos √(3x)=√3·x^{1/2} e distribuímos:
V = raiz3 integral0^3 l(9x^1/2 - x^5/2r) ,dx
Integrando termo a termo:
integral 9x^1/2 ,dx = 6x^3/2,
integral x^5/2 ,dx = 27x^7/2
Avalia em 0 a 3: 6·3^{3/2} − (2/7)·3^{7/2} = 18√3 − \frac{54}{7}√3 = \frac{72}{7}√3.

Passo 5

Por fim, multiplicando por √3 obtemos
V = raiz3 cdot 727√3 = 727 cdot 3 = 2167

Resposta

V = 2167

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