Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado acima por
, abaixo por
e lateralmente por
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado acima por z=9−x², abaixo por z=0 e lateralmente por y²=3x. O conteúdo é integral dupla para volume, e vamos precisar identificar a região no plano xy e integrar a função altura z_max−z_min = 9−x² sobre essa região.
Passo 2
Para descrever a região R no plano xy, note que estamos em x≥0, y≥0 e y² ≤ 3x. Como z≥0 exige x² ≤ 9, temos 0 ≤ x ≤ 3. Para cada x, y vai de 0 até √(3x). Assim montamos a integral dupla
Passo 3
Agora integramos primeiro em y. Como (9−x²) é constante em y, temos
Então
Passo 4
Para resolver a integral em x, escrevemos √(3x)=√3·x^{1/2} e distribuímos:
Integrando termo a termo:
Avalia em 0 a 3: 6·3^{3/2} − (2/7)·3^{7/2} = 18√3 − \frac{54}{7}√3 = \frac{72}{7}√3.
Passo 5
Por fim, multiplicando por √3 obtemos