( 3,0 pts) Encontre a solução do PVI
y^prime prime+y=0, y(pi2)=2, y^prime(pi2)=-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que nos foi dado. A equação que precisamos resolver é uma equação diferencial linear de segunda ordem, especificamente:
y^prime prime + y = 0
Além disso, temos as condições iniciais:
y(pi2) = 2 e y^prime(pi2) = -4
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y^prime prime + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A maneira padrão de resolver esse tipo de equação é encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^2 + 1 = 0 na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 1 = 0 r^2 = -1 r = pm i
Aqui, y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ) é a unidade imaginária, e isso nos indica que as raízes são complexas puras. Quando as raízes são complexas da forma y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) , a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso, e , então a solução geral simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de y(pi2) = 2 C1 cos(pi2) + C2 sin(pi2) = 2 e 0 cdot C1 + 1 cdot C2 = 2 C2 = 2 .
Primeira condição inicial:
y^prime(pi2) = -4
Sabemos que y^prime(x) = -C1 sin(x) + C2 cos(x) e - C1 sin(pi2) + C2 cos(pi2) = -4 , então:
- C1 cdot 1 + 0 cdot C2 = -4 - C1 = -4 C1 = 4
Segunda condição inicial:
Primeiro, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicando a condição inicial:
Sabendo que e , temos:

Passo 6

Agora que encontramos y(x) = 4 cos(x) + 2 sin(x) e , substituímos esses valores na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 4 cos(x) + 2 sin(x)

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