( 3,0 pts) Encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que nos foi dado. A equação que precisamos resolver é uma equação diferencial linear de segunda ordem, especificamente:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A maneira padrão de resolver esse tipo de equação é encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Aqui,
é a unidade imaginária, e isso nos indica que as raízes são complexas puras. Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução geral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição inicial:
Sabemos que
e
, então:
Segunda condição inicial:
Primeiro, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicando a condição inicial:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, substituímos esses valores na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é: