A temperatura T de uma xícara de café em uma sala com temperatura constante de 20^circ C é uma função do tempo t dada por:
T(t)=20+75 e^-k t
onde k=0,02 é a constante de decaimento. Qual é a temperatura média do café durante a primeira hora?

Passo 1

Beleza, temos o enunciado onde a temperatura T(t) = 20 + 75 e^-kt de uma xícara de café em uma sala a é dada por:
com . A gente precisa encontrar a temperatura média do café durante a primeira hora. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a média de uma função no intervalo de tempo considerado.

Passo 2

Para achar a temperatura média, a gente vai calcular a média da função Média = 1b - a integrala^b f(t) , dt no intervalo de até hora. A fórmula para a média de uma função de até é:
é

Passo 3

Aplicando essa fórmula para a nossa função Temperatura Média = 11 - 0 integral0^1 (20 + 75 e^-0,02 t) dt , temos:
Temperatura Média = integral0^1 (20 + 75 e^-0,02 t) dt é
Simplificando:
é

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 20 , dt + integral0^1 75 e^-0,02 t , dt

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral0^1 20 , dt = 20t |0^1 = 20(1) - 20(0) = 20

Passo 6

Agora, a segunda integral. A integral de integral0^1 75 e^-0,02 t , dt = 75 ( e^-0,02 t-0,02 ) |0^1 = -3750 ( e^-0,02 - 1 ) é e^-0,02 approx 0,9802 , então:
-3750 (0,9802 - 1) = -3750 (-0,0198) = 74,25
Calculando o valor numérico:
Então:

Passo 7

Somando as duas integrais:
20 + 74,25 = 94,25

Resposta

A temperatura média do café durante a primeira hora é aproximadamente .

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