A temperatura de uma xícara de café em uma sala com temperatura constante de é uma função do tempo dada por:
onde é a constante de decaimento. Qual é a temperatura média do café durante a primeira hora?
Passo 1
Beleza, temos o enunciado onde a temperatura de uma xícara de café em uma sala a é dada por:
com . A gente precisa encontrar a temperatura média do café durante a primeira hora. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a média de uma função no intervalo de tempo considerado.
Passo 2
Para achar a temperatura média, a gente vai calcular a média da função no intervalo de até hora. A fórmula para a média de uma função de até é:
Passo 3
Aplicando essa fórmula para a nossa função , temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
Agora, a segunda integral. A integral de integral0^1 75 e^-0,02 t , dt = 75 ( e^-0,02 t-0,02 ) |0^1 = -3750 ( e^-0,02 - 1 ) é e^-0,02 approx 0,9802 , então:
-3750 (0,9802 - 1) = -3750 (-0,0198) = 74,25
Calculando o valor numérico:
Então:
Passo 7
Somando as duas integrais:
20 + 74,25 = 94,25
Resposta
A temperatura média do café durante a primeira hora é aproximadamente .