Resolva
y^prime prime+16 y=cos 4 t
com y(0)=0 e y^prime(0)=1, utilizando Transformada de Laplace.

Passo 1

A gente quer resolver a equação diferencial y'' + 16y = ,cos4t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo principal aqui é Transformada de Laplace, e vamos precisar usar as transformadas de y'', y', y e de cos4t.

Passo 2

Aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembro que Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly = Y(s) e Lcos4t = ss^2+16. Substituindo:
s^2Y(s) - 0 - 1 + 16Y(s) = ss^2+16

Passo 3

Reuno os termos em Y(s). Temos
(s^2+16)Y(s) - 1 = ss^2+16
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(s^2+16)Y(s) = 1 + ss^2+16
E então
Y(s) = 1s^2+16 + s(s^2+16)^2

Passo 4

Agora faço a inversa de Laplace usando a tabela. Sei que
L^-1tfrac1s^2+16 = tfrac14sin4t
e também que
L^-1tfracs(s^2+16)^2 = tfrac18,tsin4t
Portanto somando as duas partes,
y(t) = \tfrac{1}{4}\sin4t + \tfrac{1}{8}t\sin4t

Passo 5

Vale checar as condições iniciais: y(0)=0 e y’(0)=1 batem certinho, então está tudo certo!

Resposta

y(t)=tfrac14sin4t + tfrac18tsin4t

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