Resolva
com
e
, utilizando Transformada de Laplace.
Passo 1
A gente quer resolver a equação diferencial
com condições iniciais
e
. O conteúdo principal aqui é Transformada de Laplace, e vamos precisar usar as transformadas de
,
,
e de
.
Passo 2
Aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados. Lembro que
,
e
. Substituindo:
Passo 3
Reuno os termos em
. Temos
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E então
Passo 4
Agora faço a inversa de Laplace usando a tabela. Sei que
e também que
Portanto somando as duas partes,
y(t) = \tfrac{1}{4}\sin4t + \tfrac{1}{8}t\sin4t
y(t) = \tfrac{1}{4}\sin4t + \tfrac{1}{8}t\sin4t
Passo 5
Vale checar as condições iniciais: y(0)=0 e y’(0)=1 batem certinho, então está tudo certo!