integral x^2 d xraiz4-x^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 , dxraiz4 - x^6. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável nova. Observamos que no denominador temos raiz4 - x^6. Perceba que x^6 pode ser escrito como (x^3)^2. Isso sugere que podemos tentar a substituição t = x^3.

Passo 3

Vamos definir t = x^3. Agora, precisamos encontrar dt em termos de dx:
dt = 3x^2 , dx
Para isolar x^2 , dx, dividimos ambos os lados por 3:
x^2 , dx = dt3

Passo 4

Substituímos x^2 , dx e x^3 na integral original:
integral x^2 , dxraiz4 - x^6 = integral dt3raiz4 - t^2 = 13 integral dtraiz4 - t^2
Agora, a integral ficou mais simples: integral dtraiz4 - t^2.

Passo 5

Sabemos que integral dtraiza^2 - t^2 = arcsin(ta) + C, onde a é uma constante. No nosso caso, a = 2, então:
integral dtraiz4 - t^2 = arcsin(t2) + C
Portanto, substituindo de volta:
13 integral dtraiz4 - t^2 = 13 arcsin(t2) + C

Passo 6

Lembrando que t = x^3, substituímos de volta na expressão:
13 arcsin(x^32) + C
Essa é a forma final da nossa integral.

Resposta

integral x^2 , dxraiz4 - x^6 = 13 arcsin(x^32) + C

Exercícios relacionados