integral(2-x)^3 dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(2 - x)^3 dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente na integração de funções polinomiais usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observando (2 - x)^3, percebemos que a expressão dentro do parêntese, 2 - x, pode ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 2 - x. Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx:
dudx = -1 implies du = -dx
Isso significa que dx = -du.

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
integral u^3 du = u^44 + C
Portanto,
-integral u^3 du = -u^44 + C

Passo 6

Agora, substituímos de volta u = 2 - x:
-(2 - x)^44 + C

Resposta

A integral de (2 - x)^3 em relação a x é:
integral(2 - x)^3 dx = -(2 - x)^44 + C

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