1. integral sen x sen(4 x) d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral sin x,sin(4x),dx. Esse é um caso de produto de funções trigonométricas, então vamos usar identidades de soma e diferença para transformar o integrando em uma soma de cossenos.

Passo 2

A identidade-chave é
sin A,sin B = 12l[cos(A - B) - cos(A + B)r]

Passo 3

Aplicando essa identidade com A = x e B = 4x:
sin x,sin(4x) = 12l[cos(x - 4x) - cos(x + 4x)r] = 12l[cos(-3x) - cos(5x)r]
Como cos(-3x)=cos(3x), fica
sin x,sin(4x) = 12l[cos(3x) - cos(5x)r]

Passo 4

Substituindo na integral:
integral sin x,sin(4x),dx = 12integrall[cos(3x) - cos(5x)r]dx
Agora integramos cada termo separadamente:
  • integral cos(3x),dx = 13sin(3x).
  • integral cos(5x),dx = 15sin(5x).

Passo 5

Multiplicando por 1/2 e combinando resultados, obtemos
12l(tfrac13sin(3x) - tfrac15sin(5x)r) + C = 16sin(3x) - 110sin(5x) + C

Resposta

16sin(3x) - 110sin(5x) + C

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