Se f(x)=ln (sen(x^2)), calcule f^prime(raizpi / 4).
2 raizpi.

Passo 1

O problema diz que temos a função f(x)=ln(sin(x^2)) e pede f'(raizpi/4). Vamos usar derivada de logaritmo e regra da cadeia, além da derivada de seno.

Passo 2

Começamos encontrando a derivada geral usando regra da cadeia. Primeiro lembramos que ddxln(u)=u'u e ddxsin(v)=cos(v),v'. Aqui u=sin(x^2) e v=x^2.

Passo 3

Derivando passo a passo:
f'(x)=ddxln(sin(x^2))=1sin(x^2)cdotddxsin(x^2)=1sin(x^2)cdotcos(x^2)cdot2x=2xcos(x^2)sin(x^2)=2xcot(x^2)

Passo 4

Agora avaliamos em x0=raizpi/4=raizpi2. Note que x0^2=pi/4 e cot(pi/4)=1. Logo
f'(x0)=2cdotraizpi2cdot1=raizpi

Resposta

raizpi

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