Exercício 20 (ELJ 103)
Seja f: R^3 R a função dada por f(x, y, z)=(x^2+y^2-4)^2+z^2-1. Determine os valores de c in R tais que f^-1(c) é uma hiperfície de R^3.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=l(x^2+y^2-4r)^2+z^2-1
e pede os valores de c tais que o nível f^-1(c)=(x,y,z)mid f(x,y,z)=c seja uma hiperfície em R^3.
Conteúdo: teorema do valor regular (ou nível regular) — um valor c é regular se nabla fneq 0 em todo ponto de f^-1(c), e então f^-1(c) é uma subvariedade de dimensão 3-1=2.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f.
Em coordenadas,
partial fpartial x =2l(x^2+y^2-4r)cdot2x =4x,(x^2+y^2-4),
partial fpartial y =4y,(x^2+y^2-4), partial fpartial z =2z
Logo
nabla f(x,y,z) =l(4x(x^2+y^2-4),,4y(x^2+y^2-4),,2zr)

Passo 3

Determinamos onde nabla f=0. As três componentes devem zerar:
1. 2z=0 Rightarrow z=0.
2. 4x(x^2+y^2-4)=0 e 4y(x^2+y^2-4)=0.
Dessas duas equações tiramos duas possibilidades conjuntas:
  • x^2+y^2-4=0. Então qualquer (x,y) com x^2+y^2=4 faz as duas componentes em x,y zero.
  • x=0 e y=0 simultaneamente.
Portanto, os pontos críticos são
(0,0,0) e (x,y,0)mid x^2+y^2=4

Passo 4

Agora achamos os valores de f nesses pontos:
  • Em (0,0,0):
f(0,0,0) =l(0+0-4r)^2+0^2-1 =16-1 =15
  • Em qualquer (x,y,0) com x^2+y^2=4:
x^2+y^2-4=0 Longrightarrow f(x,y,0)=0^2+0^2-1=-1
Logo os valores críticos de f são c=-1 e c=15.

Passo 5

Pelo teorema do valor regular, todo c que não seja valor crítico (ou seja, cneq -1 e cneq 15) é um valor regular de f. Assim f^-1(c) será uma subvariedade de dimensão 2, ou seja, uma hiperfície em R^3.
Nota: para c<-1 o conjunto f^-1(c) é vazio (não consideramos vazio como uma “hiperfície não trivial”).

Resposta

Os valores de c para os quais f^-1(c) é uma hiperfície não vazia em R^3 são todos os cinR tais que
cneq -1 e cneq 15

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