Exercício 20 (ELJ 103)
Seja
a função dada por
. Determine os valores de
tais que
é uma hiperfície de
.
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
e pede os valores de
tais que o nível
seja uma hiperfície em
.
Conteúdo: teorema do valor regular (ou nível regular) — um valor é regular se
em todo ponto de
, e então
é uma subvariedade de dimensão
.
Conteúdo: teorema do valor regular (ou nível regular) — um valor
Passo 2
Calculamos o gradiente de
.
Em coordenadas,
Em coordenadas,
Logo
Passo 3
Determinamos onde
. As três componentes devem zerar:
.
.
.
e
.
Dessas duas equações tiramos duas possibilidades conjuntas:
-
. Então qualquer com faz as duas componentes em zero. -
e simultaneamente.
Portanto, os pontos críticos são
Passo 4
Agora achamos os valores de
nesses pontos:
- Em
:
- Em qualquer
com :
Logo os valores críticos de
são
e
.
Passo 5
Pelo teorema do valor regular, todo
que não seja valor crítico (ou seja,
e
) é um valor regular de
. Assim
será uma subvariedade de dimensão
, ou seja, uma hiperfície em
.
Nota: para o conjunto
é vazio (não consideramos vazio como uma “hiperfície não trivial”).
Nota: para
Resposta
Os valores de
para os quais
é uma hiperfície não vazia em
são todos os
tais que