Determine os pontos máximos e mínimos da seguinte função.
f(x)=x^3+x^2-5 x+3

Passo 1

Vamos começar resumindo a questão: queremos achar os pontos de máximo e mínimo locais da função cúbica f(x)=x^3+x^2-5x+3. Para isso, vamos precisar da derivada para encontrar os pontos críticos e da segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos:
f'(x)=3x^2+2x-5
Para resolver f'(x)=0, aplicamos a fórmula de Bhaskara na equação 3x^2+2x-5=0:
De
x=-2pm82cdot3implies x=1ou x=-tfrac53

Passo 3

Agora usamos a segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Primeiro,
f''(x)=6x+2
Para x=1:
f''(1)=6cdot1+2=8>0
Logo, x=1 é ponto de mínimo local.
Para x=-tfrac53:
f''l(-tfrac53r)=6cdot(-tfrac53)+2=-10+2=-8<0
Logo, x=-tfrac53 é ponto de máximo local.

Passo 4

Falta só calcular os valores da função nesses pontos.
Para x=1:
f(1)=1^3+1^2-5cdot1+3=1+1-5+3=0
Para x=-tfrac53:
fl(-tfrac53r)=l(-tfrac53r)^3+l(-tfrac53r)^2-5cdotl(-tfrac53r)+3=-125+75+225+8127=25627

Resposta

Ponto de máximo local em l(-tfrac53,tfrac25627r) e ponto de mínimo local em (1,0).

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