1. integral(e^x+e^-x)^3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral (e^x + e^-x)^3 ,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções exponenciais, e vamos usar a técnica de expansão do binômio para depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, expandimos o cubo do binômio usando a fórmula (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Aqui a = e^x e b = e^-x, então obtemos:
(e^x + e^-x)^3 = e^3x + 3e^xe^-xe^x + 3e^xe^-xe^-x + e^-3x,
Mas note que e^xe^-x = 1, logo os termos do meio ficam:
3e^xe^-xe^x = 3e^x, 3e^xe^-xe^-x = 3e^-x
Portanto a expansão final é:
(e^x + e^-x)^3 = e^3x + 3e^x + 3e^-x + e^-3x

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
integral e^3xdx = 13e^3x, integral e^xdx = e^x,
integral e^-xdx = -e^-x, integral e^-3xdx = -13e^-3x
Multiplicando pelos coeficientes e somando, obtemos:
integral(e^x+e^-x)^3dx = 13e^3x + 3e^x - 3e^-x - 13e^-3x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

13e^3x + 3e^x - 3e^-x - 13e^-3x + C

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