Utilize o método da substituição para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^13 d xraiz[3](1+2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^13dxraiz[3](1+2x)^2 usando substituição. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais definidas; vamos precisar determinar a nova variável, ajustar dx e os limites.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + 2x. Então du = 2,dx, ou seja, dx = tfracdu2. Quando x=0, temos u=1; quando x=13, u=1+2cdot13=27.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral0^13dx(1+2x)^2/3 = integral1^271u^2/3cdotdu2 = 12integral1^27u^-2/3,du
Agora integramos u^-2/3. Sabemos que
integral u^-2/3,du = u^1-2/31-2/3 = u^1/31/3 = 3u^1/3
Logo, a integral definida vira
12l[3u^1/3r]1^27 = 32l[27^1/3-1^1/3r]
Como 27^1/3=3 e 1^1/3=1, isso dá
32(3-1) = 32cdot2 = 3

Resposta

3

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