Uma pessoa está dirigindo um carro numa estrada. No instante 0 , estava na posição 0 e o carro anda na direção positiva, sempre com velocidade positiva. No instante
, a pessoa está pisando forte no acelerador do carro. Se
indica a função que dá a posição do veículo no instante
, em torno do ponto
, podemos afirma que (escolha a melhor):
A função é constante A função é côncava A função é uma reta
A função é convexa
As outras alternativas estão incorretas
A função é constante A função é côncava A função é uma reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pessoa dirigindo um carro numa estrada. No instante 0, o carro está na posição 0 e segue pra frente com velocidade sempre positiva. No instante $ t_0 $, a pessoa pisa firme no acelerador. A gente precisa analisar a função $ s(t) $, que mostra a posição do carro no tempo $ t $, perto de $ t_0 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cinemática, especialmente derivadas de posição e aceleração, além de entender o que significa uma função ser convexa ou côncava.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição $ s(t) $ nos dá onde o carro está em cada instante $ t $. A velocidade do carro é a primeira derivada de $ s(t) $, ou seja, $ v(t) = s’(t) $. A aceleração é a segunda derivada, $ a(t) = s’’(t) $.
No instante $ t_0 $, a pessoa pisa forte no acelerador. Isso significa que a aceleração $ a(t) $ é positiva nesse ponto, ou seja, $ s’’(t_0) > 0 $. A velocidade está aumentando porque o carro está acelerando.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre concavidade e convexidade da função $ s(t) $. Uma função é:
- Convexa se sua segunda derivada $ s’’(t) $ for positiva. Isso faz com que o gráfico da função “curva para cima”.
- Côncava se $ s’’(t) $ for negativa, fazendo o gráfico “curvar para baixo”.
Como já vimos, no instante $ t_0 $, $ s’’(t_0) > 0 $, então a função $ s(t) $ é convexa nesse ponto.
Passo 4
Vamos conferir as alternativas:
- A função é constante: Não faz sentido, porque a posição está mudando conforme o carro se move.
- A função é côncava: Errado, já que $ s’’(t_0) > 0 $.
- A função é uma reta: Só seria uma reta se a velocidade fosse constante, mas aqui a aceleração é positiva, então a velocidade está aumentando.
- A função é convexa: Correto, porque $ s’’(t_0) > 0 $.
- As outras alternativas estão incorretas: Verdadeiro, já que apenas a função convexa está correta.
Resposta
A função é convexa.