Verifique as seguintes identidades trigonométricas para quaisquer x, y in R :
sin x-sin y=2 cos x+y2 sin x-y2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade trigonométrica \ sin x – sin y = 2 cos\frac{x+y}{2} sin\frac{x–y}{2}. O conteúdo envolve fórmulas de soma e diferença de ângulos para seno.

Passo 2

Para usar essas fórmulas, note que podemos escrever x e y como soma e diferença de dois termos:\ x = \frac{x+y}{2} + \frac{x–y}{2},\ y = \frac{x+y}{2} - \frac{x–y}{2}.\ Vamos aplicar a identidade de seno de soma e diferença:
sin(alpha pm beta) = sinalphacosbeta pm cosalphasinbeta

Passo 3

Agora expandimos sin x e sin y usando as fórmulas acima:
sin x = sinl(tfracx+y2 + tfracxy2r) = sinl(tfracx+y2r)cosl(tfracxy2r) + cosl(tfracx+y2r)sinl(tfracxy2r)
sin y = sinl(tfracx+y2 - tfracxy2r) = sinl(tfracx+y2r)cosl(tfracxy2r) - cosl(tfracx+y2r)sinl(tfracxy2r)

Passo 4

Subtraindo essas duas expressões, os termos com sinl(tfracx+y2r)cosl(tfracxy2r) se cancelam e sobramos com:
sin x - sin y = 2cosl(tfracx+y2r)sinl(tfracxy2r)

Passo 5

Portanto, chegamos exatamente ao lado direito da identidade, o que prova que ela vale para quaisquer x,y.

Resposta

sin x - sin y = 2costfracx+y2sintfracx-y2

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