Verifique as seguintes identidades trigonométricas para quaisquer
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade trigonométrica \ sin x – sin y = 2 cos\frac{x+y}{2} sin\frac{x–y}{2}. O conteúdo envolve fórmulas de soma e diferença de ângulos para seno.
Passo 2
Para usar essas fórmulas, note que podemos escrever x e y como soma e diferença de dois termos:\ x = \frac{x+y}{2} + \frac{x–y}{2},\ y = \frac{x+y}{2} - \frac{x–y}{2}.\ Vamos aplicar a identidade de seno de soma e diferença:
Passo 3
Agora expandimos
e
usando as fórmulas acima:
Passo 4
Subtraindo essas duas expressões, os termos com
se cancelam e sobramos com:
Passo 5
Portanto, chegamos exatamente ao lado direito da identidade, o que prova que ela vale para quaisquer
.